Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
Некоторый треугольник можно вырезать из бумажной полоски единичной ширины, а из любой полоски меньшей ширины его вырезать нельзя. Какую площадь может иметь этот треугольник?
Из клетчатого бумажного квадрата 100×100 вырезали по границам клеток 1950 доминошек (двуклеточных прямоугольников). Докажите, что из оставшейся части можно вырезать по границам клеток четырёхклеточную фигурку вида Т – возможно, повёрнутую. (Если такая фигурка уже есть среди оставшихся частей, считается, что её получилось вырезать.)
Положительные рациональные числа a и b записаны в виде десятичных дробей, у каждой из которых минимальный период состоит из 30 цифр. У десятичной записи числа a – b длина минимального периода равна 15. При каком наименьшем натуральном k длина минимального периода десятичной записи числа a + kb может также оказаться равной 15?
Заменим в произведении 100· 101·102·...·200 все числа на 150. Увеличится или уменьшится произведение? Тот же вопрос для суммы.
Четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность с центром O. Найдите расстояние от точки O до стороны AB, если известно, что CD = 8.
Периметры треугольников ABM, BCM и ACM, где M —
точка пересечения медиан треугольника ABC, равны. Докажите, что
треугольник ABC правильный.
Координаты вершин треугольника рациональны. Докажите,
что координаты центра его описанной окружности также рациональны.
Точки A1, A2, A3, A4, A5, A6 делят окружность радиуса 1 на шесть равных частей. Из A1 провёден луч l1 в направлении A2, из A2 – луч l2 в направлении A3, ..., из A6 – луч l6 в направлении A1. Из точки B1, взятой на луче l1, опускается перпендикуляр на луч l6, из основания этого перпендикуляра опускается перпендикуляр на l5 и т. д. Основание шестого перпендикуляра совпало с B1. Найти отрезок B1A1.
Дан кубический многочлен f(x). Назовём циклом такую тройку различных чисел (a, b, c), что f(a) = b, f(b) = c и f(c) = a. Известно, что нашлись восемь циклов (ai, bi, ci), i = 1, 2, ..., 8, в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида ai + bi + ci есть хотя бы три различных.
Три окружности попарно касаются внешним образом
в точках A, B и C. Докажите, что описанная окружность
треугольника ABC перпендикулярна всем трем окружностям.
В треугольнике ABC угол C прямой. Докажите, что
при гомотетии с центром C и коэффициентом 2 вписанная окружность
переходит в окружность, касающуюся описанной окружности.
На сторонах треугольника ABC вовне построены квадраты ABB1A2, BCC1B2 и CAA1C2. На отрезках A1A2 и B1B2 также во внешнюю сторону от треугольников AA1A2 и BB1B2 построены квадраты A1A2A3A4 и B1B2B3B4. Докажите, что A3B4 || AB.
|
|
 |
Условие
На сторонах треугольника ABC вовне построены квадраты ABB1A2, BCC1B2 и CAA1C2. На отрезках A1A2 и B1B2 также во внешнюю сторону от треугольников AA1A2 и BB1B2 построены квадраты A1A2A3A4 и B1B2B3B4. Докажите, что A3B4 || AB.
Решение 1
Поскольку AB = BB1, BC = BB2 и ∠B1BB2 = π − ∠ABC, то SABC = SBB1B2. Аналогично, SB1A2A3 = SAA1A2 = SABC = SBB1B2 = SB1A2B4. Следовательно,
A3B4 || A2B1 || AB.
Решение 2
Заметим, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, перпендикулярна отрезку A1A2 и равна его половине. Действительно, если D – четвёртая вершина параллелограмма ABDC, то треугольник ABD является образом треугольника A2AA1 при повороте на 90° вокруг центра квадрата ABB1A2.
Замечания
Таким образом, мы доказали не только утверждение задачи, но и равенство A3B4 = 4AB.
