Версия для печати
Убрать все задачи

---

Смешарики живут на берегах пруда в форме равностороннего треугольника со стороной 600 м. Крош и Бараш живут на одном берегу в 300 м друг от друга. Летом Лосяшу до Кроша идти 900 м, Барашу до Нюши – тоже 900 м. Докажите, что зимой, когда пруд замёрзнет и можно будет ходить прямо по льду, Лосяшу до Кроша снова будет идти столько же метров, сколько Барашу до Нюши.

   Решение

---

Две окружности касаются внешним образом. Найдите длину их общей внешней касательной (между точками касания), если радиусы равны 16 и 25.

   Решение

---

Существуют ли шесть таких последовательных натуральных чисел, что наименьшее общее кратное первых трёх из них больше, чем наименьшее общее кратное трёх следующих?

   Решение

---

Существует ли отличный от куба шестигранник, у которого все грани являются равными ромбами?

   Решение

---

Существует ли треугольник с вершинами в узлах клетчатой бумаги, каждая сторона которого длиннее 100 клеточек, а площадь меньше площади одной клеточки?

   Решение

---

Стороны треугольника не превосходят 1. Докажите, что его площадь не превосходит  .

   Решение

---

Две хорды окружности взаимно перпендикулярны.
Докажите, что расстояние от точки их пересечения до центра окружности равно расстоянию между их серединами.

   Решение

---

Федя К. вышел из некоторой точки, прошел 1км на север, затем - 1км на восток, затем - 1км на юг и вернулся в исходную точку.
  а) Где такое могло произойти?
  б) Найдите все такие точки на Земле.

   Решение

---

Найдите радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром a .

   Решение

Темы:    [ Правильный тетраэдр ] [ Векторы (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром a .

Решение

Пусть ABCD – правильный тетраэдр с ребром a , M – центр грани ABC , L – середина BC , Q – центр вписанной сферы, r – её радиус. Поскольку DL BC и LM BC , линейный угол искомого двугранного угла между плоскостями ABC и DBC – это угол DLM . Обозначим его β . Так как DM – высота тетраэдра, то треугольник DLM – прямоугольный. В нём извествно, что DL = , LM = . Следовательно,

cos β = cos DLM = = = , sin β = .
Поскольку сфера вписана в двугранный угол, образованный плоскостями ABC и DBC , её центр Q лежит в биссекторной плоскости этого угла. Проведём сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро AD и середину L противоположного ему ребра BC . Получим треугольник ALD , стороны AL и AD которого касаются окружности радиуса r с центром Q на высоте DM . Из прямоугольного треугольника LMQ находим, что
r = QM = LM tg QKM = · tg =

= · = · = .


Пусть ABCD – правильный тетраэдр с ребром a , r – искомый радиус вписанной сферы. Центр сферы, вписанной в правильный тетраэдр, лежит на каждой из четырёх высот тетраэдра. Высоты правильного тетраэдра являются его медианами, а медианы любой треугольной пирамиды пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1 , считая от вершины. Значит, центр вписанной сферы совпадает с точкой пересечения высот правильного тетраэдра, а радиус равен высоты тетраэдра. Следовательно,
r = a = .


Пусть r – радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром a , V – объём тетраэдра, S – полная поверхность. Тогда
r = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования