Выбрано 14 задач 
Убрать все задачи
Найдите все такие натуральные числа m, что произведение факториалов первых m нечётных натуральных чисел равно факториалу суммы первых m натуральных чисел.
а) 100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть равновесие.
Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится.
б) Рассмотрим такие n, что набор гирь 1, 2, ... , n г можно
разделить на две части, равные по весу.
Верно ли, что для любого такого n, большего 3, можно убрать по две гирьки из каждой части так, что равенство весов сохранится?
Существуют ли такие
а) 4 различных натуральных числа;
б) 5 различных натуральных чисел;
в) 5 различных целых чисел;
г) 6 различных целых чисел,
что сумма каждых трёх из них – простое число?
Докажите, что если
+
=
,
то
A = 120o.
Докажите, что a1a2...an–1an ≡ an–1an (mod 4).
Прямая касается окружности с центром O в точке A. Точка C на этой прямой и точка D на окружности расположены по разные стороны от прямой OA. Найдите угол CAD, если угол AOD равен 110o.
Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку K первой окружности проводятся прямые KA и KB, вторично пересекающие другую окружность в точках P и Q соответственно. Докажите, что хорда PQ окружности перпендикулярна диаметру KM первой окружности.
Соедините точки А и В (см. рисунок) ломаной из четырёх отрезков одинаковой длины так, чтобы выполнялись следующие условия:
1) концами отрезков могут быть только какие-то из отмеченных точек;
2) внутри отрезков не должно быть отмеченных точек;
3) соседние отрезки не должны лежать на одной прямой.
Во время стоянки между двумя рейсами матросу исполнилось 20 лет. По этому случаю в кают-компании собрались все шесть членов команды.
– Я вдвое старше юнги и на 6 лет старше машиниста, – сказал рулевой.
– А я на столько же старше юнги, на сколько моложе машиниста, – заметил боцман. – Кроме того, я на 4 года старше матроса.
– Средний возраст команды – 28 лет, – дал справку капитан.
Сколько лет капитану?
Прямая, параллельная основаниям трапеции, разбивает её на две подобные трапеции.
Найдите отрезок этой прямой, заключённый внутри трапеции, если основания равны a и b.
Секущая ABC отсекает дугу BC, содержащую 112°; касательная AD точкой касания D делит эту дугу в отношении 7 : 9. Найдите ∠BAD.
У марсиан бывает произвольное число рук. Однажды все марсиане взялись за руки так, что свободных рук не осталось.
Докажите, что число марсиан, у которых нечётное число рук, чётно.
Какова угловая величина дуги, если радиус, проведённый в её конец, составляет с её хордой угол в 40°?
Расставьте в вершинах пятиугольника действительные числа так, чтобы сумма чисел на концах некоторой стороны была равна 1, на концах некоторой другой стороны была равна 2, ..., на концах последней стороны – равна 5.
|
|
 |
Условие
Расставьте в вершинах пятиугольника действительные числа так, чтобы сумма чисел на концах некоторой стороны была равна 1, на концах некоторой другой стороны была равна 2, ..., на концах последней стороны – равна 5.
Решение
Поставим в 1-й вершине число x, во 2-й поставим 1 – x, в 3-й – 1 + x, в 4-й – 2 – x, в 5-й – 2 + x. Тогда при любых значения x суммы чисел на четырёх сторонах составят, соответственно, 1, 2, 3, 4. Чтобы сумма чисел на 5-й стороне была равна 5, надо подобрать x из условия x + (2 + x) = 5. Отсюда x = 1,5.
Ответ
3/2, – ½, 5/2, ½, 7/2.
