Версия для печати
Убрать все задачи

---

В равнобедренной трапеции проведена диагональ. По контуру каждого из получившихся двух треугольников ползёт свой жук. Скорости движения жуков постоянны и одинаковы. Жуки не меняют направления обхода своих контуров, и по диагонали трапеции они ползут в разных направлениях. Докажите, что при любых начальных положениях жуков они когда-нибудь встретятся.

   Решение

---

Уравнение  x² + px + q = 0  имеет корни x₁ и x₂. Напишите уравнение, корнями которого будут числа y₁, y₂ равные:

а)       б)       в)       г)  

   Решение

---

Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABC пересекает прямую BC в точке E;AD - биссектриса треугольника ABC. Докажите, что AE = ED.

   Решение

---

Две окружности радиусов r и R с центрами в точках O₁ и O касаются внутренним образом в точке K. В точке A окружности радиуса r проведена касательная, пересекающая окружность радиуса R в точках B и C. Известно, что AC : AB = p и отрезок AC пересекает отрезок OK. Определите:

а) при каких условиях на r, R и p возможна такая геометрическая конфигурация;

б) длину отрезка BC.

   Решение

---

По мнению Тани, в идеальном кофейном напитке должно быть ровно в 9 раз больше кофе, чем молока. У Глеба есть стакан и кружка, а также целая цистерна молока и огромная турка с неограниченным запасом кофе. Аккуратный Глеб может отпить ровно половину содержимого кружки или стакана. Как Глебу приготовить для Тани целый стакан идеального кофейного напитка, если точный объём кружки неизвестен, но он как минимум на $10\%$ больше объёма стакана? Глеб может наливать кофе и молоко в стакан или в кружку, может выливать содержимое, переливать из кружки в стакан или наоборот, отпивать половину содержимого любое конечное количество раз.

   Решение

---

Периметр прямоугольника равен 40. Какой из таких прямоугольников имеет наибольшую площадь?

   Решение

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3- Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

Периметр прямоугольника равен 40. Какой из таких прямоугольников имеет наибольшую площадь?

Решение 1

Сумма двух соседних сторон прямоугольника равна 20. Согласно неравенству Коши их произведение не превосходит 100, причём равенство достигается, когда стороны равны.

Решение 2

Сравним площадь прямоугольника с площадью квадрата того же периметра (см. рис.).

Площадь красного прямоугольника больше площади синего, так как их меньшие стороны равны, а вторая сторона у красного больше.

Ответ

Квадрат.

Источники и прецеденты использования