Выбрано 13 задач 
Убрать все задачи
Можно ли раскрасить все натуральные числа, большие 1, в три цвета (каждое число – в один цвет, все три цвета должны использоваться) так, чтобы цвет произведения любых двух чисел разного цвета отличался от цвета каждого из сомножителей?
Можно ли расставить в клетках таблицы $6\times 6$ числа, среди которых нет одинаковых, так, чтобы в каждом прямоугольнике $1\times 5$ (как вертикальном, так и горизонтальном) сумма чисел была равна 2022 или 2023?
Дан выпуклый 2000-угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются в одной точке. Каждая из его диагоналей покрашена в один из 999 цветов. Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника не обязательно должны оказаться вершинами исходного многоугольника.)
Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка K так, что середина стороны AD равноудалена от точек K и C, а середина стороны CD равноудалена от точек K и A. Точка N – середина отрезка BK. Докажите, что углы NAK и NCK равны.
Про грибы.В корзине лежат 30 грибов. Среди любых 12 из них имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?
У двух трапеций соответственно равны углы и диагонали. Верно ли, что такие трапеции равны?
На поверхности куба найти точки, из которых диагональ видна под наименьшим углом. Доказать, что из остальных точек поверхности куба диагональ видна под большим углом, чем из найденных.
Фокусник выкладывает в ряд колоду из 52 карт и объявляет, что 51 из них будут выкинуты со стола, а останется тройка треф. Зритель на каждом шаге говорит, какую по счёту с края карту надо выкинуть, а фокусник выбирает, с левого или с правого края считать, и выкидывает соответствующую карту. При каких начальных положениях тройки треф можно гарантировать успех фокуса?
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) биссектриса BD в два раза короче биссектрисы AE. Найдите углы треугольника ABC.
Решить систему уравнений:
3xyz – x³ – y³ – z³ = b³,
x + y + z = 2b,
x² + y² + z² = b².
Докажите, что все числа вида 1156, 111556, 11115556,... являются точными квадратами.
На столе стоят семь стаканов – все вверх дном. За один ход можно перевернуть любые четыре стакана.
Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?
Бронзовые монеты в 1, 2, 3 и 5 коп. весят соответственно 1, 2, 3 и 5 г. Среди четырех бронзовых монет (по одной из каждого номинала) одна фальшивая — отличается от настоящих по весу. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?
|
|
 |
Условие
Бронзовые монеты в 1, 2, 3 и 5 коп. весят соответственно 1, 2, 3 и 5 г. Среди четырех бронзовых монет (по одной из каждого номинала) одна фальшивая — отличается от настоящих по весу. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?
Решение
1-ое взвешивание: на одной чашке весов 2 и 3, а на другой 5.
1-й случай. Если равновесие, то фальшивая монета 1 коп.
2-й случай. 5 коп монета тяжелее, тогда делаем 2-ое взвешивание: на одной чашке весов 2 и 1 а на другой 3, то
а) при равновесии — фальшивая монета 5коп;
б) если перевешивает 3 коп, то 5 коп — настоящие и более тяжелые, следовательно, фальшивая — более легкая. Тогда 2 коп более легкая, след, фальшивая;
в) если 3 коп более легкие, то фальшивые 2 коп или 3 коп, но 5 коп настоящие, более тяжелые, следовательно, 3коп — фальшивые.
3-и случай. 5 коп более легкая, 1 коп — настоящая монета, тогда делаем 2-ое взвешивание: на одной чашке весов 2 и 1 а на другой 3, то
а) при равенстве имеем, что 5 коп фальшивая, более легкая;
б) если перевешивает 3, то имеем, что 5 настоящая и более легкая, тогда фальшивая 3 коп, более тяжелая;
в) если 3 более легкая, тогда 5 коп настоящая, а фальшивая более тяжелая, то есть 2 коп.
