Версия для печати
Убрать все задачи

---

Чему равна сумма цифр всех чисел от единицы до миллиарда?

   Решение

---

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, H — точка пересечения высот. Докажите, что a² + b² + c² = 9R² - OH².

   Решение

---

Даны два многочлена P(x) и Q(x) положительной степени, причём  P(P(x)) ≡ Q(Q(x))  и  P(P(P(x))) ≡ Q(Q(Q(x))).
Обязательно ли тогда  P(x) ≡ Q(x)?

   Решение

---

На плоскости дан квадрат 8×8, разбитый на клеточки 1×1. Его покрывают прямоугольными равнобедренными треугольниками (два треугольника закрывают одну клетку). Имеется 64 черных и 64 белых треугольника. Рассматриваются "правильные" покрытия – такие, что каждые два треугольника, имеющие общую сторону, разного цвета. Сколько существует правильных покрытий?

   Решение

---

Докажите, что количество частей, на которые данные прямые разбивают плоскость, равно 1 + n + ((P) - 1), причем среди этих частей 2n неограниченных.

   Решение

---

Части, на которые плоскость разрезана прямыми. раскрашены в красный и синий цвет так, что соседние части разного цвета (см. задачу 27.1). Пусть a -- количество красных частей, b — количество синих частей. Докажите, что

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда красные области — треугольники и углы.

   Решение

---

На плоскости даны 9 точек (см. рисунок). Перечеркните их все четырьмя прямыми отрезками, не отрывая карандаша от бумаги.

   Решение

---

Докажите, что  S = r_c²tg(/2)tg(/2)ctg(/2).

   Решение

---

Числа [a], [2a], ..., [Na] различны между собой, и числа , , ..., тоже различны между собой. Найти все такие a.

   Решение

---

Решите систему уравнений:
   (x₃ + x₄ + x₅)⁵ = 3x₁,
   (x₄ + x₅ + x₁)⁵ = 3x₂,
   (x₅ + x₁ + x₂)⁵ = 3x₃,
   (x₁ + x₂ + x₃)⁵ = 3x₄,
   (x₂ + x₃ + x₄)⁵ = 3x₅.

   Решение

---

Существует ли непостоянный многочлен $P(x)$, который можно представить в виде суммы  $a(x) + b(x)$,  где $a(x)$ и $b(x)$ – квадраты многочленов с действительными коэффициентами,
  а) ровно одним способом?
  б) ровно двумя способами?
Способы, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми.

   Решение

---

Существует ли прямоугольник, который можно разрезать на 100 прямоугольников, которые все ему подобны, но среди которых нет двух одинаковых?

   Решение

---

Решить в натуральных числах уравнение:  

   Решение

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 2 Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Решить в натуральных числах уравнение:  

Решение

Второе слагаемое положительно, но меньше единицы. Поскольку  ¹⁰/₇ = 1 + ³/₇,  то  x = 1,  а  y + ¹/_z = ⁷/₃ = 2 + ⅓.  По тем же соображениям  y = 2,  z = 3.

Ответ

x = 1,  y = 2,  z = 3.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования