Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом $30$ градусов одна биссектриса в два раза короче другой.

   Решение

В таблице 2005×2006 расставлены числа 0, 1, 2 так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке делится на 3.
Какое наибольшее возможное количество единиц может быть в этой таблице?

   Решение

Пусть в прямоугольном треугольнике AB и AC – катеты,  AC > AB.  На AC выбрана точка E, а на BC – точка D так, что  AB = AE = BD.
Докажите, что треугольник ADE прямоугольный тогда и только тогда, когда стороны треугольника ABC относятся как  3 : 4 : 5.

   Решение

В параллелограмме ABCD точка E – середина AD. Точка F – основание перпендикуляра, опущенного из B на прямую CE.
Докажите, что треугольник ABF – равнобедренный.

   Решение

В футбольном турнире в один круг участвовало 28 команд. По окончании турнира оказалось, что более ¾ всех игр закончилось вничью.
Докажите, что какие-то две команды набрали поровну очков.

   Решение

Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?

   Решение

Имеется 25 кусков сыра разного веса. Всегда ли можно один из этих кусков разрезать на две части и разложить сыр в два пакета так, что части разрезанного куска окажутся в разных пакетах, веса пакетов будут одинаковы и число кусков в пакетах также будет одинаково?

   Решение

Числа 1, 2, 3, ..., 25 расставляют в таблицу  5×5  так, чтобы в каждой строке числа были расположены в порядке возрастания.
Какое наибольшее и какое наименьшее значение может иметь сумма чисел в третьем столбце?

   Решение

Докажите, что произведение всех целых чисел от  2¹⁹¹⁷ + 1  до  2¹⁹⁹¹ – 1  включительно не есть квадрат целого числа.

   Решение

Докажите неравенство  

   Решение

Можно ли нарисовать на плоскости четыре красных и четыре чёрных точки так, чтобы для каждой тройки точек одного цвета нашлась такая точка другого цвета, что эти четыре точки являются вершинами параллелограмма?

   Решение

Последовательность натуральных чисел  a₁, a₂, ..., a_n, ...  такова, что для каждого n уравнение  a_n+2x² + a_n+1x + a_n = 0  имеет действительный корень. Может ли число членов этой последовательности быть
  а) равным 10;
  б) бесконечным?

   Решение

Квадрат разрезали на 25 квадратиков, из которых ровно у одного сторона имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных сторона равна 1).
Найдите площадь исходного квадрата.

   Решение

Существует ли такое N и такие  N – 1  бесконечных арифметических прогрессий с разностями  2, 3, 4, ..., N,  что каждое натуральное число принадлежит хотя бы одной из этих прогрессий?

   Решение

Можно ли в таблицу 9×9 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:
  1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;
  2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;
  3) среди чисел нет равных;
  4) все числа не больше 1991?

   Решение

Куб разрезали на 99 кубиков, из которых ровно у одного ребро имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных ребро равно 1).
Найдите объём исходного куба.

   Решение

а) Определение (смотри в справочнике) функций g_k,l(x) не позволяет вычислять их значения при  x = 1.  Но, поскольку функции g_k,l(x) являются многочленами, они определены и при  x = 1.  Докажите равенство  

б) Какие свойства биномиальных коэффициентов получаются, если в свойства б) – г) из задачи 61522 подставить значение  x = 1?

   Решение

Найдите сумму  S_l(x) = g_0,l(x) – g_1,l–1(x) + g_2,l–2(x) – ... + (–1)^lg_l,0(x).
Определение многочленов Гаусса g_k,l(x) можно найти в справочнике.

   Решение

Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с единицы, до некоторого n включительно:   12345678910111213...(n).
Существует ли такое n, что в этой записи все десять цифр встречаются одинаковое количество раз?

   Решение

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Индукция (прочее) ] [ Последовательности (прочее) ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с единицы, до некоторого n включительно:   12345678910111213...(n).
Существует ли такое n, что в этой записи все десять цифр встречаются одинаковое количество раз?

Решение 1

  Докажем, что единиц в такой записи всегда больше, чем нулей.

  Первый способ. Индукция. База (выписаны несколько первых цифр) очевидна: нулей в записи нет, а единица есть.
  Шаг индукции. Пусть число n  (k+1)-значно. Разобьём запись, начиная с числа 10^k, на блоки по 10^k чисел; последний блок может быть неполным. В каждом полном блоке сотрём первые цифры у всех чисел. Получится запись, в которой выписаны все k-значные числа от 0...0 до 9...9. Ясно, что в ней все цифры встречаются одинаковое число раз. В неполном блоке также сотрём первые цифры у всех чисел. При этом появится некоторое количество чисел, начинающихся с нулей. Эти нули переставим (спереди) к соответствующим "старым" числам, у которых было не более k знаков, (эти числа не вошли в блоки) и припишем спереди нули к тем "старым" числам, для которых нулей не хватило. Число 0...0, образовавшееся из первого числа неполного блока, переставим в начало записи и тоже будем считать "старым" k-значным числом. Теперь у "старых" k-значных чисел (после приписывания нулей "старых" чисел с меньшим числом знаков не осталось) нулей столько же, сколько единиц, а у "новых" чисел (в которые превратились (k+1)-значные числа неполного блока) по предположению индукции единиц больше, чем нулей. Но по сравнению с исходной ситуацией число нулей не уменьшилось, а число единиц уменьшилось.

  Второй способ. Каждому нулю в записи поставим в соответствие единицу, которая стоит левее него. А именно, пусть 0 – цифра в некотором числе X, стоящая в нем на (m+1)-м месте с конца  (m ≥ 0).  Тогда в ряду левее числа X записано число  X – 9·10^m,  в котором на (m+1)-м месте стоит цифра 1.
  Если бы ряду были записаны все натуральные числа, то можно было бы построить обратное соответствие: каждой единице, которая находится в некотором числе X на (m+1)-м месте с конца, соответствует ноль, стоящий на (m+1)-м месте в числе  X + 9·10^m. Отсюда следует, что при первом соответствии разным нулям соответствуют разные единицы. Значит, количество нулей в построенном ряду не больше количества единиц. Чтобы их было поровну, нужно, чтобы обратное соответствие не выводило за пределы ряда. В частности, единице на первом месте ряда соответствует ноль в числе 10, т.е. 10 в ряду записано. Единице в числе 10 соответствует ноль в числе 100, ... Продолжая, получим, что в ряду должны быть все степени десятки, а это не так.

Решение 2

  Девятки всегда появляются позже, чем единицы. Отсюда следует, что единственный кандидат на роль n, который мог бы подойти, – число вида 9...9. Но в этом случае легко видеть, что нулей будет меньше, чем других цифр.

Ответ

Не существует.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования