Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
Разложите функции и
(n ≥ 1) в цепные дроби.
Определения многочленов Фибоначчи Fn(x) и Люка Ln(x) смотри, например, здесь.
Сколько целых чисел от 1 до 1997 имеют сумму цифр, делящуюся на 5?
Проверьте, что многочлены Чебышёва Tn(x) и Un(x) (см. задачу
61099)
удовлетворяют начальным условиям
T0(x) = 1, T1(x) = x; U0(x) = 1, U1(x) = 2x, и рекуррентным формулам Tn+1(x) = 2xTn(x) – Tn–1(x), Un+1(x) = 2xUn(x) – Un–1(x).
Можно ли найти десять таких последовательных натуральных чисел, что сумма их квадратов равна сумме квадратов следующих за ними девяти последовательных натуральных чисел?
Площадь треугольника ABC равна S. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника ABC.
Стороны треугольника равны a, b, c. Докажите, что медиана,
проведённая к стороне c, равна
.
Три кузнечика сидят на прямой так, что два крайних отстоят на 1 м от среднего. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если A прыгает через B в точку A1, то AB = BA1). Через некоторое время кузнечики оказались на тех же местах, что и вначале, но в другом порядке. Докажите, что поменялись местами крайние кузнечики.
На отрезке [0, 1] числовой оси расположены четыре точки: a, b, c, d.
Докажите, что найдётcя такая точка x, принадлежащая [0, 1], что
|
|
 |
Условие
На отрезке [0, 1] числовой оси расположены четыре точки: a, b, c, d.
Докажите, что найдётcя такая точка x, принадлежащая [0, 1], что
Решение
Точки a, b, c, d делят отрезок [0, 1] не более чем на пять частей; хотя бы одна из этих частей является интервалом длины не меньше 0,2. Пусть x – центр этого интервала. Расстояние от x до концов этого интервала не меньше 0,1, а до других точек из числа a, b, c, d – больше 0,1. Поэтому два из чисел |x – a|, |x – b|, |x – c|, |x – d| не меньше 0,1, а остальные два больше 0,1. Так что все обратные величины не больше 10, а две из них меньше 10. Следовательно, сумма этих обратных величин меньше 40.
Замечания
3 балла
