Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
Как, не отрывая карандаша от бумаги, провести шесть отрезков таким образом, чтобы оказались зачёркнутыми 16 точек, расположенных в вершинах квадратной сетки 4×4?
В записи *1*2*4*8*16*32*64 = 27 вместо знаков ''*'' поставьте знаки ''+'' или ''-'' так, чтобы равенство стало верным.
На Нью-Васюковской валютной бирже за 11 тугриков дают 14 динаров, за 22 рупии – 21 динар, за 10 рупий – 3 талера, а за 5 крон – 2 талера. Сколько тугриков можно выменять за 13 крон?
В ряд расположили n лампочек и зажгли некоторые из них. Каждую минуту после этого все лампочки, горевшие на прошлой минуте, гаснут, а те негоревшие лампочки, которые на прошлой минуте соседствовали ровно с одной горящей лампочкой, загораются. При каких n можно так зажечь некоторые лампочки в начале, чтобы потом в любой момент нашлась хотя бы одна горящая лампочка?
Тангенсы углов треугольника – целые числа. Чему они могут быть равны?
Как одним прямолинейным разрезом рассечь два лежащих на сковороде квадратных блина на две равные части каждый?
В результате измерения четырёх сторон и одной из диагоналей некоторого четырёхугольника получились числа: 1; 2; 2,8; 5; 7,5. Чему равна длина измеренной диагонали?
Натуральное число умножили последовательно на каждую из его цифр. Получилось 1995. Найдите исходное число.
Решите ребус: БАО×БА×Б = 2002.
Расположите в кружочках (вершинах правильного десятиугольника) числа от 1 до 10 так, чтобы для любых двух соседних чисел их сумма была равна сумме двух чисел, им противоположных (симметричных относительно центра окружности).
Пусть a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство a³ + b³ + 3abc > c³.
Существует ли такое шестизначное число A, что среди чисел A, 2A, ..., 500000A нет ни одного числа, оканчивающегося шестью одинаковыми цифрами?
|
|
 |
Условие
Существует ли такое шестизначное число A, что среди чисел A, 2A, ..., 500000A нет ни одного числа, оканчивающегося шестью одинаковыми цифрами?
Решение 1
Пусть A взаимно просто с 10. Тогда числа A, 2A, ..., 106A дают при делении на 106 все возможные остатки по одному разу (см. зад. 60733). Поэтому достаточно найти такое число A, что остатки 111111, 222222, ..., 999999 появятся на девяти последних местах, то есть у чисел от (106 – 9)A до (106 – 1)A.
Возьмём A = 888889 ≡ – 111111 (mod 106). Тогда (106 – m)A ≡ – mA ≡ 111111m (mod 106).
Решение 2
Возьмём A = 999997 = 106 – 3. Пусть kA оканчивается шестью одинаковыми цифрами, то есть имеет вид 106m + 111111n (n = 0, 1, ..., 9). Тогда
(106 – 3)k = 106m + 3·37037n или 106(k – m) = 3·(k + 37037n). Поэтому k + 37037n делится на 106. Следовательно, k + 37037n ≥ 106, откуда
k ≥ 106 – 37037·9 > 500000.
Ответ
Существует.
Замечания
1. 8 баллов.
2. Обобщение см. в задаче М1581 из Задачника "Кванта".
