Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом $30$ градусов одна биссектриса в два раза короче другой.

   Решение

В таблице 2005×2006 расставлены числа 0, 1, 2 так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке делится на 3.
Какое наибольшее возможное количество единиц может быть в этой таблице?

   Решение

Пусть в прямоугольном треугольнике AB и AC – катеты,  AC > AB.  На AC выбрана точка E, а на BC – точка D так, что  AB = AE = BD.
Докажите, что треугольник ADE прямоугольный тогда и только тогда, когда стороны треугольника ABC относятся как  3 : 4 : 5.

   Решение

В параллелограмме ABCD точка E – середина AD. Точка F – основание перпендикуляра, опущенного из B на прямую CE.
Докажите, что треугольник ABF – равнобедренный.

   Решение

В футбольном турнире в один круг участвовало 28 команд. По окончании турнира оказалось, что более ¾ всех игр закончилось вничью.
Докажите, что какие-то две команды набрали поровну очков.

   Решение

Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?

   Решение

Имеется 25 кусков сыра разного веса. Всегда ли можно один из этих кусков разрезать на две части и разложить сыр в два пакета так, что части разрезанного куска окажутся в разных пакетах, веса пакетов будут одинаковы и число кусков в пакетах также будет одинаково?

   Решение

Числа 1, 2, 3, ..., 25 расставляют в таблицу  5×5  так, чтобы в каждой строке числа были расположены в порядке возрастания.
Какое наибольшее и какое наименьшее значение может иметь сумма чисел в третьем столбце?

   Решение

Докажите, что произведение всех целых чисел от  2¹⁹¹⁷ + 1  до  2¹⁹⁹¹ – 1  включительно не есть квадрат целого числа.

   Решение

Докажите неравенство  

   Решение

Можно ли нарисовать на плоскости четыре красных и четыре чёрных точки так, чтобы для каждой тройки точек одного цвета нашлась такая точка другого цвета, что эти четыре точки являются вершинами параллелограмма?

   Решение

Последовательность натуральных чисел  a₁, a₂, ..., a_n, ...  такова, что для каждого n уравнение  a_n+2x² + a_n+1x + a_n = 0  имеет действительный корень. Может ли число членов этой последовательности быть
  а) равным 10;
  б) бесконечным?

   Решение

Квадрат разрезали на 25 квадратиков, из которых ровно у одного сторона имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных сторона равна 1).
Найдите площадь исходного квадрата.

   Решение

Существует ли такое N и такие  N – 1  бесконечных арифметических прогрессий с разностями  2, 3, 4, ..., N,  что каждое натуральное число принадлежит хотя бы одной из этих прогрессий?

   Решение

Можно ли в таблицу 9×9 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:
  1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;
  2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;
  3) среди чисел нет равных;
  4) все числа не больше 1991?

   Решение

Куб разрезали на 99 кубиков, из которых ровно у одного ребро имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных ребро равно 1).
Найдите объём исходного куба.

   Решение

а) Определение (смотри в справочнике) функций g_k,l(x) не позволяет вычислять их значения при  x = 1.  Но, поскольку функции g_k,l(x) являются многочленами, они определены и при  x = 1.  Докажите равенство  

б) Какие свойства биномиальных коэффициентов получаются, если в свойства б) – г) из задачи 61522 подставить значение  x = 1?

   Решение

Найдите сумму  S_l(x) = g_0,l(x) – g_1,l–1(x) + g_2,l–2(x) – ... + (–1)^lg_l,0(x).
Определение многочленов Гаусса g_k,l(x) можно найти в справочнике.

   Решение

Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с единицы, до некоторого n включительно:   12345678910111213...(n).
Существует ли такое n, что в этой записи все десять цифр встречаются одинаковое количество раз?

   Решение

Найдите геометрическое место точек, лежащих внутри куба и равноудалённых от трёх скрещивающихся рёбер  a, b, c  этого куба.

   Решение

Темы:    [ Куб ] [ Метод координат в пространстве (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Найдите геометрическое место точек, лежащих внутри куба и равноудалённых от трёх скрещивающихся рёбер  a, b, c  этого куба.

Решение

  Расположим систему координат так, чтобы вершины куба ABCDA'B'C'D' имели координаты:  A(0, 0, 0),  B(1, 0, 0),  D(0, 1, 0),  A'(0, 0, 1).
  Расстояние от точки  M(x, y, z)  до ребра  a = BB'  равно расстоянию от её проекции  M'(x, y) на плоскость xOy до точки  B(1, 0),  то есть равно   .  Аналогично квадраты расстояний от M до рёбер  b = CD  и  c = A'D'  равны, соответственно,  (1 – y)² + z²,  (1 – z)² + x².  При  x = y = z  точка M, очевидно, равноудалена от  a, b, c.  Докажем, что больше таких точек нет. Пусть не все координаты точки M равны между собой, и x – наименьшая из них, а z – наибольшая (остальные случаи разбираются точно так же). Тогда  x < z,  1 – z ≤ 1 – y   ⇔   (1 – z)² + x² < (1 – y)² + z²,  и  M не равноудалена от рёбер b и c.  Итак, искомое ГМТ – множество точек, координаты которых удовлетворяют соотношению  x = y = z.  Это диагональ AC' куба.

Ответ

Большая диагональ куба, не имеющая общих точек с рёбрами  a, b, c.

Замечания

1. Рёбра  BB', CD и A'D  переходят друг в друга при повороте куба вокруг диагонали AC' на 120°. Отсюда сразу видно, что все точки диагонали AC' равноудалены от этих рёбер. К сожалению, эта красивая идея не даёт возможности доказать, что искомое геометрическое место не содержит точек вне этой диагонали.

2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования