Версия для печати
Убрать все задачи

---

Для каких n существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из n звеньев, что каждая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?

   Решение

---

Натуральное число умножили на 5, результат снова умножили на 5 и так далее, всего сделали $k$ умножений. Оказалось, что в десятичной записи исходного числа и полученных $k$ чисел нет
цифры 7. Докажите, что существует натуральное число, которое можно $k$ раз умножить на 2, и снова ни в одном числе не будет цифры 7 в его десятичной записи.

   Решение

---

99 прямых разбивают плоскость на n частей. Найдите все возможные значения n, меньшие 199.

   Решение

---

Дана геометрическая прогрессия, знаменатель которой — целое число (не равное 0 и -1). Докажите, что сумма любого числа произвольно выбранных её членов не может равняться никакому члену этой прогрессии.

   Решение

---

а) Существует ли последовательность натуральных чисел a₁, a₂, a₃, ..., обладающая следующим свойством: ни один член последовательности не равен сумме нескольких других и  a_n ≤ n¹⁰  при любом n?

б) Тот же вопрос, если  a_n ≤ n  при любом n.

   Решение

---

Даны 3 скрещивающиеся прямые. Докажите, что они будут общими перпендикулярами к своим общим перпендикулярам.

   Решение

---

В трёхгранный угол с вершиной S вписана сфера с центром в точке O.
Докажите, что плоскость, проходящая через три точки касания, перпендикулярна к прямой SO.

   Решение

---

Покажите, что для любой последовательности $a_0$, $a_1$, ..., $a_n$, ..., состоящей из единиц и минус единиц, найдутся такие $n$ и $k$, что  $|a_0a_1...a_k  +   a_1a_2...a_{k+1}  +   ...   +  a_na_{n+1}...a_{n+k}| = 2017.$

   Решение

---

Найдите соотношение между

   Решение

---

ABC разбит прямой BD на два треугольника. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в ABD и DBC, больше радиуса окружности, вписанной в ABC.

   Решение

---

Из точки C проведены касательные CA и CB к окружности O. Из произвольной точки N окружности опущены перпендикуляры ND, NE, NF соответственно на прямые A, CA и CB. Докажите, что ND есть среднее геометрическое чисел NE и NF.

   Решение

---

На координатной плоскости xOy построена парабола  y = x².  Затем начало координат и оси стёрли.
Как их восстановить с помощью циркуля и линейки (используя имеющуюся параболу)?

   Решение

Темы:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Построения (прочее) ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

На координатной плоскости xOy построена парабола  y = x².  Затем начало координат и оси стёрли.
Как их восстановить с помощью циркуля и линейки (используя имеющуюся параболу)?

Решение

  Докажем следующую лемму.

  Лемма. Пусть M и N – середины двух параллельных хорд параболы. Тогда прямая MN параллельна оси параболы (рис. 1).

  Доказательство. Пусть хорды AB и CD параболы лежат на параллельных прямых  y = kx + a  и  y = kx + b,  тогда абсциссы точек  A, B, C, D  – это корни уравнений  x² = kx + a  и  x² = kx + b,  а абсциссы точек M и N – полусуммы корней этих уравнений, то есть по теореме Виета равны ^k/₂.  Следовательно, прямая MN параллельна оси Oy.

  Вернёмся к решению задачи. Проводим последовательно две параллельные хорды параболы; прямую, проходящую через их середины (параллельную Oy); перпендикуляр к этой прямой, пересекающий параболу в двух точках; серединный перпендикуляр к полученной хорде. Этот перпендикуляр и будет осью Oy, а ось Ox – это перпендикуляр к Oy в точке пересечения с параболой.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования