Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
Найдите какие-нибудь семь последовательных натуральных чисел, каждое из которых можно изменить (увеличить или уменьшить) на 1 таким образом, чтобы произведение семи полученных в результате чисел равнялось произведению семи исходных чисел.
Высота параллелограмма, проведённая из вершины тупого угла, равна 2 и делит сторону параллелограмма пополам. Острый угол параллелограмма равен 30°. Найдите диагональ, проведённую из вершины тупого угла, и углы, которые она образует со сторонами.
На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка P так, что
AP : AD = 1 : n, Q – точка пересечения прямых AC и BP.
Докажите, что AQ : AC = 1 : (n + 1).
На сторонах произвольного треугольника ABC вне
его построены равнобедренные треугольники A'BC, AB'C
и ABC' с вершинами A', B' и C' и углами ,
и
при этих вершинах, причем
+
+
= 2
. Докажите, что углы
треугольника A'B'C' равны
/2,
/2,
/2.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен 2.
Найдите расстояние от вершины острого угла до точки, в которой вписанная окружность касается противолежащего этому углу катета.
Докажите, что при x ≥ 0.
Радиусы двух окружностей равны 27 и 13, а расстояние между центрами равно 50. Найдите длины их общих касательных.
Про последовательность x1, x2, ..., xn, ... известно, что для любого n > 1 выполнено равенство 3xn - xn - 1 = n. Кроме того, известно, что | x1| < 1971. Вычислить x1971 с точностью до 0, 000001.
Найти на плоскости точку, сумма расстояний от которой до четырёх заданных точек минимальна.
Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC , пересекая сторону AB в точке E и сторону BC в точке F . Угол AEC в 5 раз больше угла BAF , а угол ABC равен 72o . Найдите радиус окружности, если AC = 6 .
На сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах построены четыре круга. Докажите, что они покрывают весь четырёхугольник.
Саша выставляет на пустую шахматную доску ладьи: первую – куда захочет, а каждую следующую ставит так, чтобы она побила нечётное число ранее выставленных ладей. Какое наибольшее число ладей он сможет так выставить?
|
|
 |
Условие
Саша выставляет на пустую шахматную доску ладьи: первую – куда захочет, а каждую следующую ставит так, чтобы она побила нечётное число ранее выставленных ладей. Какое наибольшее число ладей он сможет так выставить?
Решение
Покажем, как можно поставить 63 ладьи. Сначала поставим ладьи на клетки a1, a8 и h8. Затем заполним первую горизонталь (от b1 до g1) и последнюю вертикаль (от h8 до h2), кроме клетки h1. Затем заполняем вертикали: сначала самую левую от a2 до a7, потом следующую от b2 до b8 и т.д.
64 ладьи поставить невозможно. Действительно, после того как заполнены три угловые клетки доски, нельзя поставить ладью в четвёртый угол (оттуда она, независимо от расположения других ладей, будет бить ровно две из них).
Ответ
63 ладьи.
Замечания
6 баллов
