Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109655

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Боковая поверхность параллелепипеда ] [ Четность и нечетность ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с основанием a×b и высотой c (a, b и c – натуральные числа) оклеена по клеточкам без наложений и пропусков прямоугольниками со сторонами, параллельными рёбрам параллелепипеда, каждый из которых состоит из чётного числа единичных квадратов. При этом разрешается перегибать прямоугольники через боковые ребра параллелепипеда. Докажите, что если c нечётно, то число способов оклейки чётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65079

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Неравенство Коши ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В вершинах куба расставили числа 1², 2², ..., 8² (в каждую из вершин – по одному числу). Для каждого ребра посчитали произведение чисел в его концах. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих произведений.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109519

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Таблицы и турниры (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Квадратная доска разделена сеткой горизонтальных и вертикальных прямых на n² клеток со стороной 1. При каком наибольшем n можно отметить n клеток так, чтобы каждый прямоугольник площади не менее n со сторонами, идущими по линиям сетки, содержал хотя бы одну отмеченную клетку?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109550

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

На доске написано число 0. Два игрока по очереди приписывают справа к выражению на доске: первый – знак + или - , второй – одно из натуральных чисел от 1 до 1993. Игроки делают по 1993 хода, причем второй записывает каждое из чисел от 1 до 1993 ровно по одному разу. В конце игры второй игрок получает выигрыш, равный модулю алгебраической суммы, написанной на доске. Какой наибольший выигрыш он может себе гарантировать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109637

Темы:   [ Взвешивания ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

На столе лежат две кучки монет. Известно, что суммарный вес монет из первой кучки равен суммарному весу монет из второй кучки, а для каждого натурального числа k, не превосходящего числа монет как в первой, так и во второй кучке, суммарный вес k самых тяжелых монет из первой кучки не больше суммарного веса k самых тяжелых монет из второй кучки. Докажите, что если заменить каждую монету, вес которой не меньше x, на монету веса x (в обеих кучках), то первая кучка монет окажется не легче второй, каково бы ни было положительное число x.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями