Версия для печати
Убрать все задачи
Докажите, что первые цифры чисел вида 22n
образуют непериодическую последовательность.
Решение
Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений
4x – 4–x = 2 cos ax, 4x + 4–x = 2 cos ax + 4 равно 2007.
Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?
Решение
Квадрат ABCD и равносторонний треугольник MKL расположены так, как это показано на рисунке. Найдите угол PQD.
Решение
Даны две окружности, пересекающиеся в точках
P и
Q .
C – произвольная точка одной из окружностей, отличная от
P и
Q ;
A ,
B – вторые точки пересечения прямых
CP ,
CQ
с другой окружностью. Найдите геометрическое место центров
окружностей, описанных около треугольников
ABC .
Решение
Дан правильный шестиугольник с центром $O$. Провели шесть равных окружностей с центрами в вершинах шестиугольника так, что точка $O$ находится внутри окружностей. Угол величины α с вершиной $O$ высекает на этих окружностях шесть дуг. Докажите, что суммарная величина этих дуг равна 6α.
Решение
И сказал Кощей Ивану-Царевичу: «Жить тебе до завтра. Утром явишься пред мои очи, задумаю я три цифры —
x,
y,
z. Назовешь ты мне три числа —
a,
b,
c. Выслушаю я тебя и скажу, чему равно
ax+
by+
cz. Не отгадаешь цифры
x,
y,
z — голову с плеч долой». Запечалился Иван-Царевич, пошёл думу думать. Как ему помочь?
Решение
В шахматном турнире участвовало 12 человек. После окончания турнира каждый
участник составил 12 списков. В первый список входит только он сам, во второй
-- он и те, у кого он выиграл, в третий — все люди из второго списка и те, у
кого они выиграли, и т.д. В 12 список входят все люди из одиннадцатого списка
и те, у кого они выиграли. Известно, что для любого участника турнира в его
двенадцатый список попал человек, которого не было в его одиннадцатом списке.
Сколько ничейных партий было сыграно в турнире?
Решение
Фильтр
