ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 65111  (#9.1)

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

За круглым столом сидят 2015 человек, каждый из них – либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Им раздали по одной карточке, на каждой карточке написано по числу; при этом все числа на карточках различны. Посмотрев на карточки соседей, каждый из сидящих за столом сказал: "Мое число больше, чем у каждого из двух моих соседей". После этого k из сидящих сказали: "Мое число меньше, чем у каждого из двух моих соседей". При каком наибольшем k это могло случиться?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65119  (#10.1)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Целые числа a, x1, x2, ..., x13 таковы, что  a = (1 + x1)(1 + x2)...(1 + x13) = (1 – x1)(1 – x2)...(1 – x13).  Докажите, что  ax1x2...x13 = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65119  (#11.1)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Целые числа a, x1, x2, ..., x13 таковы, что  a = (1 + x1)(1 + x2)...(1 + x13) = (1 – x1)(1 – x2)...(1 – x13).  Докажите, что  ax1x2...x13 = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65112  (#9.2)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Назовём натуральное число интересным, если сумма его цифр – простое число. Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65120  (#10.2)

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Комбинаторика (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

На плоскости отметили все вершины правильного n-угольника, а также его центр. Затем нарисовали контур этого n-угольника, и центр соединили со всеми вершинами; в итоге n-угольник разбился на n треугольников. Вася записал в каждую отмеченную точку по числу (среди чисел могут быть равные). В каждый треугольник разбиения он записал в произвольном порядке три числа, стоящих в его вершинах; после этого он стёр числа в отмеченных точках. При каких n по тройкам чисел, записанным в треугольниках, Петя всегда сможет восстановить число в каждой отмеченной точке?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .