Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]

Задача 67106 (#21 [10-11 кл])

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Четырехугольники (построения)	]
	[	Окружность Аполлония	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Во вписанно-описанном четырехугольнике отметили центры $O$, $I$ описанной и вписанной окружностей и середину $M$ одной из диагоналей, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его.

Прислать комментарий Решение

Задача 67107 (#22 [10-11 кл])

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

В окружности $\Omega $ хорды $A_1A_2$, $A_3A_4$, $A_5A_6$ пересекаются в точке $O$. Пусть $B_i$ – вторая точка пересечения окружности $\Omega$ с окружностью, построенной на отрезке $OA_i$ как на диаметре. Докажите, что хорды $B_1B_2$, $B_3B_4$, $B_5B_6$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 67108 (#23 [10-11 кл])

Темы:	[	Кривые второго порядка	]
Темы:	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Автор: Сгибнев А.И.

Дан эллипс с фокусом $F$. Две перпендикулярные прямые, проходящие через $F$, пересекают эллипс в четырех точках. Касательные к эллипсу в этих точках образуют описанный вокруг эллипса четырехугольник. Докажите, что этот четырехугольник вписан в конику с фокусом $F$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67109 (#24 [11 кл])

Темы:	[	Сфера, вписанная в пирамиду	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]
	[	Шестиугольники	]
	[	Теорема Паскаля	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Смирнов Олег

Пусть $OABCDEF$ – шестигранная пирамида с основанием $ABCDEF$, описанная около сферы $\omega$. Плоскость, проходящая через точки касания $\omega$ с гранями $OFA$, $OAB$ и $ABCDEF$, пересекает ребро $OA$ в точке $A_1$; аналогично определяются точки $B_1$, $C_1$, $D_1$, $E_1$ и $F_1$. Пусть $\ell$, $m$ и $n$ – прямые $A_1D_1$, $B_1E_1$ и $C_1F_1$ соответственно. Оказалось, что $\ell$ и $m$ лежат в одной плоскости, $m$ и $n$ также лежат в одной плоскости. Докажите, что $\ell$ и $n$ лежат в одной плоскости.

Прислать комментарий Решение

Задача 67110 (#8.1)

Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Автор: Кухарчук И.

Выпуклый четырехугольник $ABCD$ таков, что $\angle BAD = 2 \angle BCD$ и $AB = AD$. Пусть $P$ – такая точка, что $ABCP$ – параллелограмм. Докажите, что $CP=DP$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]