Каталог по темам

Выбрано 23 задачи

Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Фольклор

Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?

Решение

Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

Решение

Доказать, что при любом целом положительном n сумма больше ½.

Решение

Автор: Гуревич Г.А.

В последовательности 19752... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретится ли в этой последовательности:
а) набор цифр 1234; 3269; б) вторично набор 1975; в) набор 8197?

Решение

Из точки M описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры MP и MQ на прямые AB и AC. При каком положении точки M длина отрезка PQ максимальна?

Решение

Найти такие отличные от нуля неравные между собой целые числа a, b, c, чтобы выражение x(x – a)(x – b)(x – c) + 1 разлагалось в произведение двух многочленов (ненулевой степени) с целыми коэффициентами.

Решение

Решить в целых числах уравнение x + y = x² – xy + y².

Решение

Дан треугольник ABC. Найдите на прямой AB точку M, для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников ACM и BCM была бы наименьшей.

Решение

Имеется 120-значное число. Его первые 12 цифр переставляются всеми возможными способами. Из полученных таким образом 120-значных чисел наугад выбирают 120 чисел. Доказать, что их сумма делится на 120.

Решение

Некоторое количество точек расположено на плоскости так, что каждые 3 из них можно заключить в круг радиуса r = 1. Доказать, что тогда и все точки можно заключить в круг радиуса 1.

Решение

Можно ли разместить в пространстве четыре свинцовых шара и точечный источник света так, чтобы каждый исходящий из источника света луч пересекал хотя бы один из шаров?

Решение

Автор: Елисеев С.Л.

В некотором государстве города соединены дорогами. Длина каждой дороги меньше 500 км, и из каждого города в любой другой можно попасть, проехав по дорогам меньше 500 км. Когда одна дорога оказалась закрытой на ремонт, выяснилось, что из каждого города можно проехать по оставшимся дорогам в любой другой. Доказать, что при этом можно проехать меньше 1500 км.

Решение

а) В квадрате площади 6 расположены три многоугольника площади 3. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника,
площадь общей части которых не меньше 1.
б) В квадрате площади 5 расположено девять многоугольников площади 1. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника,
площадь общей части которых не меньше ¹/₉.

Решение

На плоскости нарисовано 12 прямых, проходящих через точку О. Докажите, что можно выбрать две из них так, что угол между ними будет меньше 17 градусов.

Решение

Прямые l и m пересекаются в точке O, прямые l₁ и m₁ получены из прямых l и m поворотом на некоторый угол относительно точки O. Докажите, что композиция симметрий относительно l и m и композиция симметрий относительно l₁ и m₁ — одно и то же преобразование.

Решение

Докажите, что в любом треугольнике сумма длин высот меньше периметра.

Решение

Многоугольник описан около окружности радиуса r. Докажите, что его площадь равна pr, где p — полупериметр многоугольника.

Решение

В вершинах куба расставлены цифры 1, 2, ..., 8. Докажите, что есть ребро, цифры на концах которого отличаются не менее чем на 3.

Решение

Найдите геометрическое место таких точек X, что касательные, проведенные из X к данной окружности, имеют данную длину.

Решение

Докажите, что композиция двух симметрий относительно параллельных прямых есть параллельный перенос в направлении, перпендикулярном к этим прямым, на величину, равную удвоенному расстоянию между ними.

Решение

На плоскости даны точки O, M и прямая l, проходящая через точку O. Прямую l повернули вокруг точки O против часовой стрелки на угол $\alpha$ , получив прямую l₁. Докажите, что точка, симметричная точке M относительно прямой l₁, получается из точки, симметричной точке M относительно прямой l, поворотом вокруг точки O против часовой стрелки на угол 2 $\alpha$ .

Решение

Докажите, что (a + b - c)/2 < m_c < (a + b)/2, где a, b и c - длины сторон произвольного треугольника, m_c - медиана к стороне c.

Решение

Автор: Евдокимов М.А.

Расставьте на шахматной доске 32 коня так, чтобы каждый из них бил ровно двух других.

Решение

Задача 102877

Задача 30327

Задача 78726

Задача 116487

Задача 98378