ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 91]      



Задача 61015

Тема:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Докажите, что cos 20o — число иррациональное.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64767

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В республике математиков выбрали число  α > 2  и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в αk рублей при каждом натуральном k. При этом α было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98579

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что  a > 1,  b > 1,  и  [am]  отлично от  [bn]  при любых натуральных числах m и n?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109685

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Доказательство от противного ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа.
Докажите, что найдётся такой отрезок, что сумма чисел на его концах не превосходит удвоенного числа в его середине.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109780

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Теория множеств (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов a,b,c из M число a2+bc рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a из M число a рационально.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 91]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .