ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 97]      



Задача 110169

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Может ли в наборе из шести чисел  (a, b, c, a²/b, b²/c, c²/a},  где a, b, c – положительные числа, оказаться ровно три различных числа?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116719

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
[ Комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

В команде сторожей у каждого есть разряд (натуральное число). Сторож N-го разряда N суток дежурит, потом N суток спит, снова N суток дежурит, N – спит, и так далее. Известно, что разряды любых двух сторожей различаются хотя бы в три раза. Может ли такая команда осуществлять ежедневное дежурство? (Приступить к дежурству сторожа могут не одновременно, в один день могут дежурить несколько сторожей.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 78800

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 4
Классы: 11

Даны два набора чисел: a1, ..., an и b1, ..., bn. Расположим числа ak в возрастающем порядке, а числа bk – в убывающем порядке. Получатся наборы
A1 ≤ ... ≤ AnB1 ≥ ... ≥ Bn.  Доказать, что  max{a1 + b1, ..., an + bn} ≥ max{A1 + B1, ..., An + Bn}.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111873

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Системы алгебраических неравенств ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Найдите все такие тройки действительных чисел x, y, z, что  1 + x4 ≤ 2(y – z)² 1 + y4 ≤ 2(z – x)²,  1 + z4 ≤ 2(x – y)².

Прислать комментарий     Решение

Задача 116693

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4+
Классы: 10

По кругу разложено чётное количество груш. Массы любых двух соседних отличаются не более чем на 1 г. Докажите, что можно все груши объединить в пары и разложить по кругу таким образом, чтобы массы любых двух соседних пар тоже отличались не более чем на 1 г.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 97]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .