Каталог по темам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 78]

Задача 52500

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Противоположные стороны AB и CD при продолжении пересекаются в точке K, стороны BC и AD – в точке L.
Докажите, что биссектрисы углов BKC и BLA пересекаются на прямой, проходящей через середины AC и BD.

Подсказка

Пусть M и N – середины диагоналей AC и BD. Докажите, что обе биссектрисы делят отрезок MN в одном и том же отношении, равном :AC : DB.

Решение

Пусть M и N – середины AC и BD соответственно. Треугольники AKC и DBK подобны по двум углам, MK и KN – их медианы. Поэтому MK : KN = AC : BD,
∠AKM = ∠DKN. Значит, биссектриса угла AKD является биссектрисой угла MKN. Следовательно, она делит сторону MN треугольника KMN в отношении
MK : KN = AC : BD. То же верно для биссектрисы угла BLA. Следовательно, обе биссектрисы проходят через одну и ту же точку отрезка MN.

Прислать комментарий

Задача 52701

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Точки M и N принадлежат боковым сторонам соответственно AB и AC равнобедренного треугольника ABC, причём MN || BC, а в трапецию BMNC можно вписать окружность. Её радиус равен R, а радиус вписанной окружности треугольника AMN равен r. Найдите
а) основание BC;
б) расстояние от точки A до ближайшей точки касания;
в) расстояние между хордами окружностей, соединяющими точки касания с боковыми сторонами трапеции BMNC.

Подсказка

Отношение радиусов окружностей, вписанных в подобные треугольники, равно коэффициенту подобия.

Решение

а) Треугольник ABC подобен треугольнику AMN с коэффициентом ^R/_r. Следовательно (см. задачу 52700),

б) Пусть O₁ и O₂ – центры меньшей и большей окружностей соответственно; Q – точка касания большей окружности, а K – точка касания меньшей окружности со стороной AB. Тогда KO = 2KM = MN (см. рис.).
Треугольники AKO₁ и AQO₂ подобны с коэффициентом ^r/_R. Следовательно, ^AK/_KQ = ^r/_R–r, AK = ^r/_R–r·KQ = ^r/_R–r·MN.

в) Пусть P – основание перпендикуляра, опущенного из точки O₁ на O₂Q, F – основание перпендикуляра, опущенного из точки K на хорду QS, соединяющую точки касания большей окружности со сторонами AB и AC. Тогда O₁P = KQ = MN.
Из подобия треугольников KFQ и O₁PO₂ находим, что KF = ^KQ/_O₁O₂·O₁P = ^MN²/_R+r = ^4rR/_R+r.

Ответ

Прислать комментарий

Задача 64653

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Бакаев Е.В.

На квадратном столе лежит квадратная скатерть так, что ни один угол стола не закрыт, но с каждой стороны стола свисает треугольный кусок скатерти. Известно, что какие-то два соседних куска равны. Докажите, что и два других куска тоже равны. (Скатерть нигде не накладывается сама на себя, её размеры могут отличаться от размеров стола.)

Решение

Назовём весом свисающего треугольного куска длину его высоты, проведённой из прямого угла. Очевидно, все свисающие куски подобны между собой. Значит, равенство кусков равносильно равенству их весов. Поэтому достаточно показать равенство сумм весов противоположных кусков. Добавляя к этим суммам сторону стола, получаем проекции диагоналей скатерти на стороны стола. Так как диагонали равны и перпендикулярны, и стороны стола перпендикулярны, то эти проекции равны. Итак, два других куска тоже равны.

Прислать комментарий

Задача 65156

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Композиция преобразований плоскости	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

Точки K и L делят медиану AM треугольника ABC на три равные части, точка K лежит между L и . Отметили точку P так, что треугольники KPL и ABC подобны, причём P и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AM. Докажите, что P лежит на прямой AC.

Решение

Пусть N – середина AC.

Первый способ. Рассмотрим на стороне AC такую точку Q, что ∠ALQ = ∠C. Тогда треугольники ALQ и ACM подобны (по двум углам). При этом подобии медиана MN треугольника ACM переходит в медиану QK треугольника ALQ. Следовательно, треугольник KQL подобен треугольнику NMC, а значит, и треугольнику ABC. Таким образом, точки P и Q совпадают.

Второй способ. Рассмотрим композицию симметрии относительно биссектрисы угла САМ, переводящей С в точку С', и гомотетии с центром А, переводящей С' в L. При этом точка N перейдёт в К, а образ точки М попадёт на прямую АС и, поскольку треугольники NMC и KPL подобны, совпадёт с P.

Прислать комментарий

Задача 65471

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Дидин М.

Дан вписанный четырёхугольник АВСD. Продолжения его противоположных сторон пересекаются в точках P и Q. Пусть К и N – середины диагоналей.
Докажите, что сумма углов PKQ и PNQ равна 180°.

Решение

Обозначим точки как на рисунке. Треугольники ACP и BDP подобны, поскольку у них углы C и D опираются на одну дугу, а угол P общий. Поэтому соответственные медианы в них отсекают подобные треугольники ANP и BKP. Значит, углы ANP и BKP равны. Аналогично подобие треугольников ACQ и DBQ влечёт равенство углов ANQ и DKQ. Следовательно, ∠PKQ + ∠PNQ = ∠PKQ + ∠BKP + ∠DKQ = ∠BKD = 180°.

Прислать комментарий

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 78]