Страница:
<< 20 21 22 23
24 25 26 >> [Всего задач: 367]
Художник-абстракционист взял деревянный куб 5×5×5, разбил каждую грань на единичные квадраты и окрасил каждый из них в один из трёх цветов – чёрный, белый или красный – так, что нет соседних по стороне квадратов одного цвета. Какое наименьшее число чёрных квадратов могло при этом получиться? (Квадраты, имеющие общую сторону, считаются соседними и в случае, когда они лежат на разных гранях куба.)
Решение
Оценка. Три квадрата при вершине куба образуют цикл соседних квадратов длины 3. Вокруг него образуется ещё один цикл длины 9 из соседних клеток. А вокруг него – цикл длины 15. Взяв вокруг двух противоположных вершин куба по три таких цикла, а вокруг остальных вершин – по два малых цикла, получим 18 непересекающихся нечётных циклов. Поскольку нечётный цикл в два цвета правильно покрасить нельзя, каждый из них содержит чёрную клетку.
Пример. Покрасим четыре боковые грани в красный и белый цвета в шахматном порядке. Верхнюю и нижнюю грани покрасим как на рисунке.
Ответ
18 квадратов.
Если имеется 100 любых целых чисел, то среди них всегда можно взять несколько (или может быть одно) так, что в сумме они дадут число, делящееся на 100. Доказать.
Решение
См. задачу 103964.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
Сумма 100 натуральных чисел, каждое из которых не больше 100, равна 200.
Доказать, что из них можно выбрать несколько чисел, сумма которых равна 100.
Решение
Заметим, что среди наших чисел по крайней мере два больше 1 (если 99 чисел равны 1, то последнее равно 101, что противоречит условию). Поэтому можно разбить числа на две группы по 50 чисел так, что сумма чисел в каждой группе больше 50.
Согласно задаче 103964 из каждой группы можно выбрать несколько чисел с суммой, кратной 50. Ни одна из этих сумм не может равняться 200 или 150. Поэтому одна из этих сумм равна 100 или обе равны 50, то есть нужный набор чисел найден.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
В Простоквашинской начальной школе учится всего 20 детей. У каждых двух из них есть общий дед.
Докажите, что у одного из дедов в этой школе учится не менее 14 внуков и внучек.
Решение
Рассмотрим любого школьника A и двух его дедов X, Y. Если не все школьники – внуки одного из них (в этом случае доказывать нечего), то существует школьник B, который не приходится внуком X (тогда он непременно внук Y), и школьник C, который не внук Y (следовательно, внук X). У школьников B и C есть общий дед Z.
Никаких других дедов, кроме X, Y и Z у школьников нет: внук такого деда не имел бы общего деда с одним из трёх школьников A, B, C. На трёх дедов приходится 20 внуков, поэтому (считая по два деда на внука) хотя бы у одного было не менее ⅔·20, то есть не менее 14 внуков.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
Найдётся ли среди чисел вида 1...1 число, которое делится на 57?
Решение
См. задачу 34968.
Ответ
Найдётся.
Страница:
<< 20 21 22 23
24 25 26 >> [Всего задач: 367]
Фильтр
