Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]

Задача 53775

Темы:	[	Построения одной линейкой	]
Темы:	[	Замечательное свойство трапеции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Даны две параллельные прямые l и l₁. С помощью одной линейки разделите пополам данный отрезок AB, лежащий на l.

Подсказка

Примените замечательное свойство трапеции.

Решение

Возьмём точку M так, чтобы точки M и A лежали по разные стороны от прямой l₁. Пусть отрезки MA и MB пересекают прямую l₁ в точках A₁ и B₁. Обозначим через P точку пересечения диагоналей AB₁ и BA₁ трапеции AA₁B₁B. Тогда прямая MP делит отрезок AB пополам (замечательное свойство трапеции).

Прислать комментарий

Задача 52360

Темы:	[	Построения одной линейкой	]
Темы:	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

С помощью одной линейки опустите перпендикуляр из данной точки на прямую, содержащую данный диаметр данной окружности, если точка не лежит ни на окружности, ни на данной прямой.

Подсказка

Соедините данную точку с концами данного диаметра и воспользуйтесь теоремой о высотах треугольника.

Решение

Соединим данную точку M с концами данного диаметра AB. Если прямая AM вторично пересекает окружность в точке C, а прямая BM — в точке D, то высоты треугольника AMB лежат на прямых AD и BC. Пусть эти прямые пересекаются в точке H. Тогда третья высота треугольника AMB также проходит через точку H, т.к. прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Следовательно, прямая MH перпендикулярна прямой AB.

Прислать комментарий

Задача 37003

Темы:	[	Построения одной линейкой	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Описанные четырехугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

На доске была нарисована окружность с отмеченным центром, вписанный в неё четырёхугольник и окружность, вписанная в него, также с отмеченным центром. Затем стерли четырёхугольник (сохранив одну вершину) и вписанную окружность (сохранив её центр). Восстановите какую-нибудь из стертых вершин четырёхугольника, пользуясь только линейкой и проведя не более шести линий.

Решение

Рассмотрим исходный чертёж: ABCD – данный четырёхугольник; О и Q – центры описанной и вписанной окружностей соответственно (см. рис.).

Заметим, что AQ – биссектриса угла BAD; пусть она пересекает описанную окружность в точке N. Значит, ⌣BN = ⌣ND. Пусть MN – диаметр окружности, тогда ⌣BM = ⌣MD. Следовательно, СМ – биссектриса угла BCD, поэтому она содержит центр Q вписанной окружности.
Таким образом, если на чертеже сохранилась, например, вершина А, то можно восстановить противолежащую вершину С. Для этого достаточно провести три линии: луч AQ до пересечения с описанной окружностью в точке N, луч NO до пересечения с описанной окружностью в точке M и луч MQ до пересечения с описанной окружностью в искомой точке С.

Прислать комментарий

Задача 53776

Темы:	[	Построения одной линейкой	]
	[	Замечательное свойство трапеции	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Даны две параллельные прямые l и l₁. С помощью одной линейки проведите через данную точку M прямую, параллельную прямым l и l₁.

Подсказка

Примените замечательное свойство трапеции.

Решение

Пусть точка M и прямая l лежат по разные стороны от прямой l₁. Возьмём на на прямой l две точки A и B. Пусть A₁ и B₁ – точки пересечения MA и MB с прямой l₁, P – точка пересечения диагоналей AB₁ и BA₁ трапеции AA₁B₁B, K и Q – точки пересечения прямой MP с A₁B₁ и AB соответственно (см. рис.). Если T – точка пересечения прямых AK и QB₁, то прямая TM — искомая.

Действительно, треугольник KTB₁ подобен треугольнику ATQ, а треугольник A₁MK – треугольнику AMQ, причём коэффициент подобия один и тот же, так как A₁K = KB₁. Следовательно, TB₁ : TQ = KB₁ : AQ = KA₁ : AQ = MK : MQ. Поэтому MT || KB₁ || l.
Если точка M лежит внутри полосы между прямыми l и l₁, то через произвольную точку M₁, лежащую вне этой полосы, проведём прямую l₂, параллельную прямым l₁ и l (указанным выше способом), а затем через точку M проведём прямую, параллельную прямым l₁ и l₂.

Прислать комментарий

Задача 53944

Темы:	[	Построения одной линейкой	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Диаметр, основные свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дана окружность и две неравные параллельные хорды. Используя только линейку, разделите эти хорды пополам.

Подсказка

Пусть AB и CD — данные хорды, прямые AD и BC пересекаются в точке M, а прямые AC и BD — в точке N. Докажите, что прямая MN делит каждую из данных хорд пополам.

Решение

Пусть AB и CD — данные хорды; прямые AD и BC пересекаются в точке M, а прямые AC и BD — в точке N. Докажем, что диаметр окружности, перпендикулярный к этим хордам, проходит через точки M и N.

Действительно, при симметрии относительно этого диаметра, точка A переходит в точку B, а точка C — в точку D, поэтому прямая AC переходит в прямую BD. Следовательно, точка N пересечения этих прямых переходит в себя, т.е. лежит на оси симметрии. Аналогично для точки M.

Отсюда вытекает следующее построение. Находим точку пересечения M прямых AD и BC, затем — точку N пересечения прямых AC и BD. Затем проводим искомую прямую MN.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]