Задача 108143
Условие
На высотах (но не на их продолжениях) остроугольного треугольника ABC взяты точки A1 , B1 , C1 , отличные от точки пересечения высот H , причём сумма площадей треугольников ABC1 , BCA1 , CAB1 равна площади треугольника ABC . Докажите, что окружность, описанная около треугольника A1B1C1 , проходит через точку H .Решение
Пусть окружность, проходящая через точки H , A1 и B1 , пересекает второй раз прямую CH в точке C1' . Достаточно доказать, что C1' совпадает с C1 . Рассмотрим точку F , диаметрально противоположную точке H . Точки A1 , B1 и C1' лежат на окружности с диаметром HF , значит, углы HA1F , HB1F и HC1'F – прямые. Поэтому A1F || BC , B1F || AC и C1'F || AB . Поскольку у треугольников BFC и BA1C общее основание BC и равные высоты, опущенные на это основание, то SΔ BFC = SΔ BA1C . Аналогично, SΔ AFC = SΔ AB1C и SΔ AFB = SΔ AC1'B . Заметим, что точка F лежит внутри треугольника ABC : поскольку A1 и B1 лежат на высотах, а не на их продолжениях, точка F лежит внутри угла ACB ; если бы при этом она лежала вне треугольника ABC , то сумма площадей SΔ AFC +SΔ BFC = SΔ AB1C+SΔ BA1C была бы больше площади треугольника ABC , что противоречило бы условию задачи. Поскольку
и
то SΔ AC1'B=SΔ AC1B , откуда следует совпадение точек C1' и C1 .
