Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 316]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 107783

Темы:   [ Ломаные ] [ Доказательство от противного ] [ Шахматная раскраска ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

На плоскости нарисована замкнутая самопересекающаяся ломаная. Она пересекает каждое свое звено ровно один раз, причём через каждую точку самопересечения проходят ровно два звена. Может ли каждая точка самопересечения делить оба этих звена пополам? (Нет самопересечений в вершинах и звеньев с общим отрезком.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109603

Темы:   [ Числовые последовательности (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Существует ли последовательность натуральных чисел, в которой каждое натуральное число встречается ровно один раз и при этом для любого  k = 1, 2, 3, ...  сумма первых k членов последовательности делится на k?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109644

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ Процессы и операции ] [ Шахматная раскраска ] [ Обход графов ] [ Четность и нечетность ] [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Ориентированные графы ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

В прямоугольную коробку с основанием m×n, где m и n – нечётные числа, уложены домино размера 2×1 так, что остался не покрыт только квадрат 1×1 (дырка) в углу коробки. Если доминошка прилегает к дырке короткой стороной, её разрешается сдвинуть вдоль себя на одну клетку, закрыв дырку (при этом открывается новая дырка). Докажите, что с помощью таких передвижений можно перегнать дырку в любой другой угол.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109679

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Итерации ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Назовём лабиринтом шахматную доску 8×8, на которой между некоторыми полями поставлены перегородки. По команде ВПРАВО ладья смещается на одно поле вправо или, если справа находится край доски или перегородка, остаётся на месте; аналогично выполняются команды ВЛЕВО, ВВЕРХ и ВНИЗ. Программист пишет программу – конечную последовательность указанных команд, и даёт её пользователю, после чего пользователь выбирает лабиринт и помещает в него ладью на любое поле. Верно ли, что программист может написать такую программу, что ладья обойдёт все доступные поля в лабиринте при любом выборе пользователя?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109682

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Ювелир сделал незамкнутую цепочку из N>3 пронумерованных звеньев. Капризная заказчица потребовала изменить порядок звеньев в цепочке. Из вредности она заказала такую незамкнутую цепочку, чтобы ювелиру пришлось раскрыть как можно больше звеньев. Сколько звеньев придется раскрыть?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 316]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями