Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 319]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67163

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

В бесконечной арифметической прогрессии, где все числа натуральные, нашлись два числа с одинаковой суммой цифр. Обязательно ли в ней найдётся ещё одно число с такой же суммой цифр?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98344

Темы:   [ Взвешивания ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Раскладки и разбиения ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Имеется набор гирь, веса которых в граммах: 1, 2, 4,... , 512 (последовательные степени двойки) – по одной гире каждого веса. Груз разрешается взвешивать с помощью этого набора, кладя гири на обе чашки весов.
  а) Докажите, что никакой груз нельзя взвесить этими гирями более чем 89 способами.
  б) Приведите пример груза, который можно взвесить ровно 89 способами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105083

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Четность и нечетность ] [ Обход графов ] [ Процессы и операции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Система укреплений состоит из блиндажей. Некоторые из блиндажей соединены траншеями, причём из каждого блиндажа можно перебежать в какой-нибудь другой. В одном из блиндажей спрятался пехотинец. Пушка может одним выстрелом накрыть любой блиндаж. В каждом промежутке между выстрелами пехотинец обязательно перебегает по одной из траншей в соседний блиндаж (даже если по соседнему блиндажу только что стреляла пушка, пехотинец может туда перебежать). Назовём систему надёжной, если у пушки нет гарантированной стратегии поражения пехотинца (то есть такой последовательности выстрелов, благодаря которой пушка поразит пехотинца независимо от его начального местонахождения и последующих передвижений).

  а) Докажите, что система укреплений, изображённая на рисунке, надёжна.
  б) Найдите все надёжные системы укреплений, которые перестают быть надёжными после разрушения любой из траншей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107783

Темы:   [ Ломаные ] [ Доказательство от противного ] [ Шахматная раскраска ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

На плоскости нарисована замкнутая самопересекающаяся ломаная. Она пересекает каждое свое звено ровно один раз, причём через каждую точку самопересечения проходят ровно два звена. Может ли каждая точка самопересечения делить оба этих звена пополам? (Нет самопересечений в вершинах и звеньев с общим отрезком.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109603

Темы:   [ Числовые последовательности (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Существует ли последовательность натуральных чисел, в которой каждое натуральное число встречается ровно один раз и при этом для любого  k = 1, 2, 3, ...  сумма первых k членов последовательности делится на k?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 319]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями