Версия для печати
Убрать все задачи

---

Из Москвы вылетел вертолёт, который пролетел 300 км на юг, потом 300 км на запад, 300 км на север и 300 км на восток, после чего приземлился. Оказался ли он южнее Москвы, севернее её или на той же широте? Оказался ли он восточнее Москвы, западнее Москвы или на той же долготе?

   Решение

---

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник A₂B₂C₂, равный треугольнику A₁B₁C₁ и такой, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ будут параллельны?

   Решение

---

Какое слагаемое в разложении  (1 + )¹⁰⁰  по формуле бинома Ньютона будет наибольшим?

   Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 103916

Темы:   [ Средняя линия треугольника ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Параллелограмм Вариньона ] [ Теорема о группировке масс ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Пусть P – точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD, M – точка пересечения прямых, соединяющих середины его противоположных сторон, O – точка пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям, H – точка пересечения прямых, соединяющих ортоцентры треугольников APD и BPC, APB и CPD. Доказать, что M – середина OH.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66241

Темы:   [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Радикальная ось ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC. Точки A₁, A₂ симметричны основаниям внутренней и внешней биссектрис угла A относительно середины стороны BC. На отрезке A₁A₂ как на диаметре построена окружность α. Аналогично определяются окружности β и γ. Докажите, что эти три окружности пересекаются в двух точках.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 103937

Темы:   [ Окружность, вписанная в угол ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Наибольшая или наименьшая длина ] [ Периметр треугольника ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Прямые BC и AD пересекаются в точке O, причём B лежит на отрезке O и A на отрезке OD. I – центр вписанной окружности треугольника OAB, J – центр вневписанной окружности треугольника OCD, касающейся стороны CD и продолжений двух других сторон. Перпендикуляры, опущенные из середины отрезка IJ на прямые BC и AD, пересекают соответствующие стороны четырёхугольника (не продолжения) в точках X и Y. Доказать, что отрезок XY делит периметр четырёхугольника ABCD пополам, причём из всех отрезков с этим свойством и концами на BC и AD  XY имеет наименьшую длину.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66660

Темы:   [ Необычные построения (прочее) ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Имеется треугольник $ABC$ и линейка, на которой отмечены отрезки, равные сторонам треугольника. Постройте этой линейкой ортоцентр треугольника, образованного точками касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65802

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Касающиеся окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A₁. Аналогично определяются точки B₁ и C₁.
  а) Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
  б) Пусть A₂ – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA₁ и AA₂ симметричны относительно биссектрисы угла A.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями