Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 11]

Задача 103916

Темы:	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Параллелограмм Вариньона	]
	[	Теорема о группировке масс	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Мякишев А.Г.

Пусть P – точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD, M – точка пересечения прямых, соединяющих середины его противоположных сторон, O – точка пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям, H – точка пересечения прямых, соединяющих ортоцентры треугольников APD и BPC, APB и CPD. Доказать, что M – середина OH.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66241

Темы:	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Мякишев А.Г.

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC. Точки A₁, A₂ симметричны основаниям внутренней и внешней биссектрис угла A относительно середины стороны BC. На отрезке A₁A₂ как на диаметре построена окружность α. Аналогично определяются окружности β и γ. Докажите, что эти три окружности пересекаются в двух точках.

Прислать комментарий

Решение

Задача 103937

Темы:	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Наибольшая или наименьшая длина	]
	[	Периметр треугольника	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Мякишев А.Г.

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Прямые BC и AD пересекаются в точке O, причём B лежит на отрезке O и A на отрезке OD. I – центр вписанной окружности треугольника OAB, J – центр вневписанной окружности треугольника OCD, касающейся стороны CD и продолжений двух других сторон. Перпендикуляры, опущенные из середины отрезка IJ на прямые BC и AD, пересекают соответствующие стороны четырёхугольника (не продолжения) в точках X и Y. Доказать, что отрезок XY делит периметр четырёхугольника ABCD пополам, причём из всех отрезков с этим свойством и концами на BC и AD XY имеет наименьшую длину.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66660

Темы:	[	Необычные построения (прочее)	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Мякишев А.Г.

Имеется треугольник $ABC$ и линейка, на которой отмечены отрезки, равные сторонам треугольника. Постройте этой линейкой ортоцентр треугольника, образованного точками касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 65802

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Осевая и скользящая симметрии (прочее)	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Мякишев А.Г.

Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A₁. Аналогично определяются точки B₁ и C₁.
а) Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
б) Пусть A₂ – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA₁ и AA₂ симметричны относительно биссектрисы угла A.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 11]