Версия для печати
Убрать все задачи

---

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки E и F являются серединами сторон BC и CD соответственно. Отрезки AE, AF и EF делят четырёхугольник на четыре треугольника, площади которых равны (в каком-то порядке) последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника ABD?

   Решение

---

B правильном шестиугольнике ABCDEF на прямой AF взята точка X так, что  ∠XCD = 45°.  Hайдите угол FXE.

   Решение

---

В треугольник вписан квадрат (две вершины на одной стороне и по одной на остальных). Докажите, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри квадрата.

   Решение

---

Внутри окружности с центром O отмечены точки A и B так, что  OA = OB.
Постройте на окружности точку M, для которой сумма расстояний до точек A и B наименьшая среди всех возможных.

   Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 101]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109924

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Назовём сочетанием цифр несколько цифр, записанных подряд. В стране Роботландии некоторые сочетания цифр объявлены запрещёнными. Известно, что запрещённых сочетаний конечное число и существует бесконечная десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний. Докажите, что существует бесконечная периодическая десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110770

Темы:   [ Углы между биссектрисами ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC. Внутри треугольника выбрана точка P такая, что

ÐPBA + ÐPCA = ÐPBC + ÐPCB.
Докажите, что AP ≥ AI, причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда P совпадает с I.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116753

Темы:   [ Наибольшая или наименьшая длина ] [ Кривые второго порядка ] [ Метод ГМТ ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Внутри окружности с центром O отмечены точки A и B так, что  OA = OB.
Постройте на окружности точку M, для которой сумма расстояний до точек A и B наименьшая среди всех возможных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65196

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Существуют ли такие два многочлена с целыми коэффициентами, что у каждого из них есть коэффициент, модуль которого больше 2015, но у произведения этих двух многочленов модули всех коэффициентов не превосходят 1?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65835

Темы:   [ Инварианты ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

На доске можно либо написать две единицы, либо стереть любые два уже написанных одинаковых числа n и написать вместо них числа  n + 1  и  n – 1.  Какое минимальное количество таких операций требуется, чтобы получить число 2005? (Сначала доска была чистой.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 101]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями