Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 [Всего задач: 105]

Задача 110090

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Метод координат на плоскости	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

На плоскости даны n>1 точек. Двое по очереди соединяют еще не соединенную пару точек вектором одного из двух возможных направлений. Если после очередного хода какого-то игрока сумма всех нарисованных векторов нулевая, то выигрывает второй; если же очередной ход невозможен, а нулевой суммы не было, то выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий Решение

Задача 110097

Темы:	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Формулы сокращенного умножения (прочее)	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

На оси Ox произвольно расположены различные точки X₁, ..., X_n, n ≥ 3. Построены все параболы, задаваемые приведёнными квадратными трёхчленами и пересекающие ось Ox в данных точках (и не пересекающие ееё в других точках). Пусть y = f₁(x), ..., y = f_m(x) – соответствующие параболы. Докажите, что парабола y = f₁(x) + ... + f_m(x) пересекает ось Ox в двух точках.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111831

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Теорема Виета	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Агаханов Н.Х., Богданов И.И.

Существуют ли такие ненулевые числа a, b, c, что при любом n > 3 можно найти многочлен вида P_n(x) = xⁿ + ... + ax² + bx + c, имеющий ровно n (не обязательно различных) целых корней?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109835

Темы:	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Двоичная система счисления	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Авторы: Агаханов Н.Х., Богданов И.И.

Сколькими способами числа 2⁰, 2¹, 2², ..., 2²⁰⁰⁵ можно разбить на два непустых множества A и B так, чтобы уравнение x² – S(A)x + S(B) = 0, где S(M) – сумма чисел множества M, имело целый корень?

Прислать комментарий

Решение

Задача 111866

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Медиана делит площадь пополам	]
	[	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части	]
	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Фокусник отгадывает площадь выпуклого 2008-угольника A₁A₂... A₂₀₀₈, находящегося за ширмой. Он называет две точки на периметре многоугольника; зрители отмечают эти точки, проводят через них прямую и сообщают фокуснику меньшую из двух площадей частей, на которые 2008-угольник разбивается этой прямой. При этом в качестве точки фокусник может назвать либо вершину, либо точку, делящую указанную им сторону в указанном им численном отношении. Докажите, что за 2006 вопросов фокусник сможет отгадать площадь многоугольника.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 [Всего задач: 105]