Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65370

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Теорема косинусов ] [ Квадратные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На плоскости нарисованы 100 кругов, каждые два из которых имеют общую точку (возможно, граничную).
Докажите, что найдётся точка, принадлежащая не менее чем 15 кругам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116075

Темы:   [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Параллелограммы (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Из вершины A параллелограмма ABCD опущены высоты AM на BC и AN на CD. P – точка пересечения BN и DM. Докажите, что прямые AP и MN перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116721

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Пусть p – простое число. Набор из  p + 2  натуральных чисел (не обязательно различных) назовём интересным, если сумма любых p из них делится на каждое из двух оставшихся чисел. Найдите все интересные наборы.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116776

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Пересекающиеся окружности ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Точки A₁, B₁, C₁ выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что  AB₁ – AC₁ = CA₁ – CB₁ = BC₁ – BA₁.  Пусть O_A, O_B и O_C – центры описанных окружностей треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника O_AO_BO_C совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116837

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Неравенства с углами ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны соответственно точки C₁ и A₁, отличные от вершин. Пусть K – середина A₁C₁, а I – центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Оказалось, что четырёхугольник A₁BC₁I вписанный. Докажите, что угол AKC тупой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями