Версия для печати
Убрать все задачи

---

Вокруг треугольника ABC описали окружность Ω. Пусть L и W – точки пересечения биссектрисы угла A со стороной BC и окружностью Ω соответственно. Точка O – центр описанной окружности треугольника ACL. Восстановите треугольник ABC, если даны окружность Ω и точки W и O.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115868

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Подобные треугольники ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

В треугольнике ABC провели биссектрису CL. Точки A₁ и B₁ симметричны точкам A и B относительно прямой CL, A₂ и B₂ симметричны точкам A и B относительно точки L. Пусть O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников AB₁B₂ и BA₁A₂. Докажите, что углы O₁CA и O₂CB равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115883

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Из точки Q пустили в каждую из окружностей по одному лучу, которые отражаются от окружностей по закону "угол падения равен углу отражения". Точки касания траектории первого луча – A₁, A₂, ..., второго – B₁, B₂, ... . Оказалось, что точки A₁, B₁ и P лежат на одной прямой. Докажите, что тогда все прямые A_iB_i проходят через точку P.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115895

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Вокруг треугольника ABC описали окружность Ω. Пусть L и W – точки пересечения биссектрисы угла A со стороной BC и окружностью Ω соответственно. Точка O – центр описанной окружности треугольника ACL. Восстановите треугольник ABC, если даны окружность Ω и точки W и O.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67096

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Изогональное сопряжение ] [ Прямые, касающиеся окружностей (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В треугольнике $ABC$ $\angle A=60^{\circ}$, точка $T$ такова, что $\angle ATB=\angle BTC=\angle ATC$. Окружность, проходящая через точки $B$, $C$ и $T$, повторно пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $L$. Докажите, что точки $K$ и $L$ равноудалены от прямой $AT$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65019

Темы:   [ Хорды и секущие (прочее) ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Точка Лемуана ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На хорде AC окружности ω выбрали точку B. На отрезках AB и BC как на диаметрах построили окружности ω₁ и ω₂ с центрами O₁ и O₂, которые пересекают ω второй раз в точках D и E соответственно. Лучи O₁D и O₂E пересекаются в точке F. Лучи AD и CE пересекаются в точке G.
Докажите, что прямая FG проходит через середину AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями