Каталог по авторам

Выбрано 10 задач

Можно ли разрезать по границам клеток фигуру на рисунке на 4 одинаковые части?

В футбольном турнире в один круг участвовало 28 команд. По окончании турнира оказалось, что более ¾ всех игр закончилось вничью.
Докажите, что какие-то две команды набрали поровну очков.

Решение

Авторы: Бугаенко В.О., Егоров А.А.

Положительные числа a, b, c таковы, что a² + b² – ab = c². Докажите, что (a – c)(b – c) ≤ 0.

Решение

Автор: Жюри Турнира Городов

В треугольнике $ABC$ провели высоты $AX$ и $BZ$ , а также биссектрисы $AY$ и $BT$ . Известно, что углы $XAY$ и $ZBT$ равны. Обязательно ли треугольник $ABC$ равнобедренный?

Решение

Автор: Матвеев А.

Дан отрезок $AB$ . Точки $X, Y, Z$ в пространстве выбираются так, чтобы $ABX$ был правильным треугольником, а $ABYZ$ – квадратом.
Докажите, что ортоцентры всех получающихся таким образом треугольников $XYZ$ попадают на некоторую фиксированную окружность.

Решение

Автор: Матвеев А.

Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$ . Точки $X$ и $Y$ лежат на продолжениях за точку $D$ сторон $CD$ и $AD$ соответственно, причем $DX=AB$ и $DY=BC$ . Аналогично, точки $Z$ и $T$ лежат на продолжениях за точку $B$ сторон $CB$ и $AB$ , причем $BZ=AD$ и $BT=DC$ . Пусть $M_1$ – середина $XY$ , $M_2$ – середина $ZT$ . Докажите, что прямые $DM_1$ , $BM_2$ и $AC$ пересекаются в одной точке.

Решение

Автор: Власова Н.

По кругу стоят n мальчиков и n девочек. Назовём пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в 10 хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в 10 хороших парах.

Решение

Автор: Прокопьев А.

а) Доказать, что для любых положительных чисел x₁, x₂, ..., x_k (k > 3) выполняется неравенство:

б) Доказать, что это неравенство ни для какого k > 3 нельзя усилить, то есть доказать, что для каждого фиксированного k нельзя заменить двойку в правой части на большее число так, чтобы полученное неравенство было справедливо для любого набора из k положительных чисел.

Решение

Авторы: Пукас Ю.О., Федулкин Л.Е.

Юра записал четырёхзначное число. Лёня прибавил к первой цифре этого числа 1, ко второй 2, к третьей 3 и к четвёртой 4, а потом перемножил полученные суммы. У Лёни получилось 234. Какое число могло быть записано Юрой?

Решение

Авторы: Раскина И.В., Федулкин Л.Е.

Охотник рассказал приятелю, что видел в лесу волка с метровым хвостом. Тот рассказал другому приятелю, что в лесу видели волка с двухметровым хвостом. Передавая новость дальше, простые люди увеличивали длину хвоста вдвое, а творческие – втрое. В результате по телевизору сообщили о волке с хвостом длиной 864 метра. Сколько простых и сколько творческих людей "отрастили" волку хвост?

Решение

Задача 116062

Задача 65132

Задача 65443

Задача 66550

Задача 65437