Версия для печати
Убрать все задачи

---

В наборе имеется 100 гирь, каждые две из которых отличаются по массе не более чем на 20 г. Доказать, что эти гири можно положить на две чашки весов, по 50 штук на каждую, так, чтобы одна чашка весов была легче другой не более чем на 20 г.

   Решение

---

а) Докажите, что сумма углов при вершинах выпуклого n-угольника равна  (n - 2) ^. 180^o.
б) Выпуклый n-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что количество этих треугольников равно n - 2.

   Решение

---

Докажите, что окружность при осевой симметрии переходит в окружность.

   Решение

---

Даны два многочлена от переменной x с целыми коэффициентами. Произведение их есть многочлен от переменной x с чётными коэффициентами, не все из которых делятся на 4. Доказать, что в одном из многочленов все коэффициенты чётные, а в другом – хоть один нечётный.

   Решение

---

В клетках доски  n×n  произвольно расставлены числа от 1 до n². Докажите, что найдутся две такие соседние клетки (имеющие общую вершину или общую сторону), что стоящие в них числа отличаются не меньше чем на  n + 1.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 14]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97930

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Описанные четырехугольники ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ] [ Неравенства с углами ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Рассматривается выпуклый восьмиугольник. С помощью диагонали от него можно отрезать четырёхугольник, причём это можно сделать восемью способами. Может ли случиться, что среди этих восьми четырёхугольников имеется
  а) четыре,
  б) пять
таких, в которые можно вписать окружность?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66742

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Описанные четырехугольники ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Докажите, что любой треугольник можно разрезать на 2019 четырёхугольников, каждый из которых одновременно вписанный и описанный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98071

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Доказательство от противного ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

В клетках доски  n×n  произвольно расставлены числа от 1 до n². Докажите, что найдутся две такие соседние клетки (имеющие общую вершину или общую сторону), что стоящие в них числа отличаются не меньше чем на  n + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65865

Темы:   [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Две параболы с различными вершинами являются графиками квадратных трёхчленов со старшими коэффициентами p и q. Известно, что вершина каждой из парабол лежит на другой параболе. Чему может быть равно  p + q?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66721

Темы:   [ Средняя линия треугольника ] [ Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина стороны $BC$, точка $E$ лежит внутри стороны $AC$,  $BE \geqslant 2AM$.  Докажите, что треугольник $ABC$ тупоугольный.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 14]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями