Из точки O проведены касательные OA и OB к эллипсу с фокусами F₁ и F₂. Докажите, что AOF₁ = BOF₂ и AF₁O = BF₁O.

   Решение

Найдите все значения параметра a, для каждого из которых уравнение 4x² - 2x + a = 0 имеет два корня, причем x₁ < 1, x₂ > 1.

   Решение

На плоскости нарисовано 12 прямых, проходящих через точку О. Докажите, что можно выбрать две из них так, что угол между ними будет меньше 17 градусов.

   Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      

На дуге CD описанной окружности квадрата ABCD взята точка P. Докажите, что  PA + PC = PB.

Прислать комментарий

Решение

Дан параллелограмм ABCD. Окружность, проходящая через точку A, пересекает отрезки AB, AC и AD в точках P, Q и R соответственно. Докажите, что  AP ^. AB = AR ^. AD = AQ ^. AC.

Прислать комментарий

Решение

На дуге  A₁A_{2n + 1} описанной окружности S правильного (2n + 1)-угольника  A₁...A_{2n + 1} взята точка A. Докажите, что:
а)  d₁ + d₃ + ... + d_{2n + 1} = d₂ + d₄ + ... + d_2n, где d_i = AA_i;
б)  l₁ + ... + l_{2n + 1} = l₂ + ... + l_2n, где l_i — длина касательной, проведенной из точки A к окружности радиуса r, касающейся S в точке A_i (все касания одновременно внутренние или внешние).

Прислать комментарий

Решение

Пусть  $\alpha =\frac{\pi}{7}$. Докажите, что  $\frac{1}{\sin\alpha }=\frac{1}{\sin 2\alpha }+\frac{1}{\sin 3\alpha }$.

Прислать комментарий

Решение

Окружности радиуса x и y касаются окружности радиуса R, причем расстояние между точками касания равно a. Вычислите длину следующей общей касательной к первым двум окружностям:
а) внешней, если оба касания внешние или внутренние одновременно;
б) внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 11]