Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]

Задача 79400 (#1)

Тема:

[

Периодичность и непериодичность

]

Сложность: 3+
Классы: 11

Рассматривается функция y = f (x), определённая на всём множестве действительных чисел и удовлетворяющая для некоторого числа k ≠ 0 соотношению f (x + k)^.(1 − f (x)) = 1 + f (x). Доказать, что f (x) — периодическая функция.

Прислать комментарий Решение

Задача 79401 (#2)

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 4-
Классы: 11

Дан многочлен P(x) степени n со старшим коэффициентом, равным 1. Известно, что если x – целое число, то P(x) – целое число, кратное p
(p – натуральное число). Доказать, что n! делится на p.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79402 (#3)

Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]
Темы:	[	Тригонометрические неравенства	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Доказать, что последовательность x_n = sin(n²) не стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности.

Прислать комментарий Решение

Задача 79403 (#4)

Темы:	[	Ломаные внутри квадрата	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В квадрате со стороной длины 1 расположена ломаная без самопересечений, длина которой не меньше 200. Доказать, что найдётся прямая, параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая ломаную не менее чем в 101-й точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 79404 (#5)

Темы:	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Формула Герона	]
	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]
	[	Целочисленные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Радиус вписанной в треугольник окружности равен ${\frac{4}{3}}$ , а длины высот треугольника — целые числа, сумма которых равна 13. Вычислить длины сторон треугольника.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]