В треугольнике ABC  O – центр описанной окружности, H – ортоцентр. Через середину OH параллельно BC проведена прямая, пересекающая стороны AB и AC в точках D и E. Оказалось, что O – центр вписанной окружности треугольника ADE. Найдите углы треугольника ABC.

   Решение

Существуют ли на плоскости три такие точки A, B и C, что для любой точки X длина хотя бы одного из отрезков XA, XB и XC иррациональна?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

У менялы на базаре есть много ковров. Он согласен взамен ковра размера a×b дать либо ковёр размера ¹/_a×¹/_b, либо два ковра размеров c×b и  ^a/_c×b  (при каждом таком обмене число c клиент может выбрать сам). Путешественник рассказал, что изначально у него был один ковёр, стороны которого превосходили 1, а после нескольких таких обменов у него оказался набор ковров, у каждого из которых одна сторона длиннее 1, а другая – короче 1. Не обманывает ли он? (По просьбе клиента меняла готов ковёр размера a×b считать ковром размера b×a.)

Прислать комментарий

Решение

В Национальной Баскетбольной Ассоциации 30 команд, каждая из которых проводит за год 82 матча с другими командами в регулярном чемпионате. Сможет ли руководство Ассоциации разделить команды (не обязательно поровну) на Восточную и Западную конференции и составить расписание игр так, чтобы матчи между командами из разных конференций составляли ровно половину от общего числа матчей?

Прислать комментарий

Решение

В Национальной Баскетбольной Ассоциации 30 команд, каждая из которых проводит за год 82 матча с другими командами в регулярном чемпионате. Сможет ли руководство Ассоциации разделить команды (не обязательно поровну) на Восточную и Западную конференции и составить расписание игр так, чтобы матчи между командами из разных конференций составляли ровно половину от общего числа матчей?

Прислать комментарий

Решение

Окружность ω касается сторон угла BAC в точках B и C. Прямая l пересекает отрезки AB и AC в точках K и L соответственно. Окружность ω пересекает l в точках P и Q. Точки S и T выбраны на отрезке BC так, что  KS || AC  и  LT || AB.  Докажите, что точки P, Q, S и T лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Диагонали AC и BD вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Точка Q выбрана на отрезке BC так, что  PQ ⊥ AC.
Докажите, что прямая, проходящая через центры описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников APD и BQD, параллельна прямой AD.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]