Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 100]

Задача 57464 (#10.054)

Тема:

[

Неравенства для площади треугольника

]

Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что a² + b² + c² - (a - b)² - (b - c)² - (c - a)² $\geq$ 4 $\sqrt{3}$ S.

Прислать комментарий Решение

Задача 57465 (#10.055)

Тема:

[

Неравенства для площади треугольника

]

Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что
а) S³ $\leq$ ( $\sqrt{3}$ /4)³(abc)²;
б) 3h_ah_bh_c $\leq$ 43 $\sqrt{S}$ $\leq$ 3r_ar_br_c.

Прислать комментарий Решение

Задача 57466 (#10.055B)

Тема:

[

Неравенства для площади треугольника

]

Сложность: 7
Классы: 9

Пусть a, b, c и a', b', c' — длины сторон треугольников ABC и A'B'C', S и S' — их площади. Докажите, что

a²(- a'² + b'² + c'²) + b²(a'² - b'² + c'²) + c²(a'² + b'² - c'²) $\displaystyle \ge$ 16SS',

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда эти треугольники подобны (Пидо).

Прислать комментарий

Решение

Задача 57467 (#10.056)

Тема:

[

Неравенства для площади треугольника

]

Сложность: 5
Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Докажите, что S_A₁B₁C₁/S_ABC $\leq$ 1/4.

Прислать комментарий Решение

Задача 57468 (#10.057)

Тема:

[

Неравенства для площади треугольника

]

Сложность: 5
Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты произвольные точки A₁, B₁ и C₁. Пусть a = S_AB₁C₁, b = S_A₁BC₁, c = S_A₁B₁C и u = S_A₁B₁C₁. Докажите, что

u³ + (a + b + c)u² $\displaystyle \geq$ 4abc.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 100]