ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Турнир городов >> 22 турнир (2000/2001 год)
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть ($ \alpha_{1}^{}$,$ \beta_{1}^{}$,$ \gamma_{1}^{}$) и ($ \alpha_{2}^{}$,$ \beta_{2}^{}$,$ \gamma_{2}^{}$) — абсолютные барицентрические координаты точек M и N. Докажите, что

MN2 = SA($\displaystyle \alpha_{1}^{}$ - $\displaystyle \alpha_{2}^{}$)2 + SB($\displaystyle \beta_{1}^{}$ - $\displaystyle \beta_{2}^{}$)2 + SC($\displaystyle \gamma_{1}^{}$ - $\displaystyle \gamma_{2}^{}$)2,

где S$\scriptstyle \omega$ = 2Sctg$ \omega$ для произвольного угла $ \omega$, A, B, C — углы данного треугольника, а S — его площадь.

   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 43]      

  с решениями  

Задача 98513

Темы:   [ Задачи на движение ]
[ Средние величины ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Рыбников И.Г.

Автобус, едущий по маршруту длиной 100 км, снабжен компьютером, показывающим прогноз времени, остающегося до прибытия в конечный пункт. Это время рассчитывается исходя из предположения, что средняя скорость автобуса на оставшемся участке маршрута будет такой же, как и на уже пройденной его части. Спустя 40 минут после начала движения ожидаемое время до прибытия составляло 1 час и оставалось таким же ещё в течение пяти часов. Могло ли такое быть? Если да, то сколько километров проехал автобус к окончанию этих пяти часов?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98514

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Гальперин Г.А.

Десятичная запись натурального числа a состоит из n цифр, а десятичная запись числа a³ состоит из m цифр. Может ли  m + n  равняться 2001?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98515

Темы:   [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Женодаров Р.Г.

В треугольнике ABC точка X лежит на стороне AB, а точка Y – на стороне BC. Отрезки AY и CX пересекаются в точке Z. Известно, что  AY = CY  и
AB = CZ.  Докажите, что точки B, X, Z и Y лежат на одной окружности.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98517

Темы:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Правильный тетраэдр ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Произволов В.В.

На поверхности правильного тетраэдра с ребром 1 отмечены девять точек.
Докажите, что среди этих точек найдутся две, расстояние между которыми (в пространстве) не превосходит 0,5.

Прислать комментарий     Решение

Задача 105103

Темы:   [ Задачи на проценты и отношения ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

Автор: Вялый М.Н.

В некоторой стране суммарная зарплата 10% самых высокооплачиваемых работников составляет 90% зарплаты всех работников. Может ли так быть, что в каждом из регионов, на которые делится эта страна, зарплата любых 10% работников составляет не более 11% всей зарплаты, выплачиваемой в этом регионе?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 43]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам