В выпуклом пятиугольнике ABCDE с единичными сторонами середины P, Q сторон AB, CD и середины S, T сторон BC, DE соединены отрезками PQ и ST. Пусть M и N – середины отрезков PQ и ST. Найдите длину отрезка MN.

   Решение

На окружности отметили 4n точек и окрасили их через одну в красный и синий цвета. Точки каждого цвета разбили на пары, а точки каждой пары соединили отрезками того же цвета. Докажите, что если никакие три отрезка не пересекаются в одной точке, то найдется по крайней мере n точек пересечения красных отрезков с синими.

   Решение

Верно ли, что из любого выпуклого четырёхугольника можно вырезать три уменьшенные вдвое копии этого четырёхугольника?

   Решение

На клетчатой бумаге даны произвольные n клеток. Докажите, что из них можно выбрать не менее n/4 клеток, не имеющих общих точек.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

Доказать, что из 5 попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC. Требуется разрезать его на наименьшее число частей так, чтобы, перевернув эти части на другую сторону, из них можно было сложить тот же треугольник ABC.

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC. Точка M, расположенная внутри треугольника, движется параллельно стороне BC до пересечения со стороной CA, затем параллельно AB до пересечения с BC, затем параллельно AC до пересечения с AB и т. д. Докажите, что через некоторое число шагов траектория движения точки замкнется.

Прислать комментарий

Решение

Найти целое число a, при котором  (x – a)(x – 10) + 1  разлагается в произведение  (x + b)(x + c)  двух множителей с целыми b и c.

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что квадрат любого простого числа  p > 3  при делении на 12 даёт в остатке 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]