Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

По заданной последовательности положительных чисел  q1,..., qn, ...  строится последовательность многочленов следующим образом:
    f0(x) = 1,
    f1(x) = x,
      ...
    fn+1(x) = (1 + qn)xfn(x) – qnfn–1(x).
Докажите, что все вещественные корни n-го многочлена заключены между –1 и 1.

Вниз   Решение


Радиус окружности равен R. Найдите хорду, проведённую из конца данного диаметра через середину перпендикулярного к нему радиуса.

ВверхВниз   Решение


Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC, AHB, BHC и AHC, равны между собой.

ВверхВниз   Решение


Григорианский календарь. Обыкновенный год содержит 365 дней, високосный – 366. n-й год, номер которого не делится на 100, является високосным тогда и только тогда, когда n кратно 4. n-й год, где n кратно 100, является високосным тогда и только тогда, когда n кратно 400. Так, например, 1996 и 2000 годы високосные, а 1997 и 1900 – нет. Эти правила были установлены папой Григорием XIII. До сих пор мы имели ввиду гражданский год, число дней которого должно быть целым. Астрономическим же годом называется период времени, за который Земля совершает полный оборот вокруг Солнца. Считая, что григорианский год полностью согласован с астрономическим, найдите продолжительность астрономического года.

ВверхВниз   Решение


Окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B . Известно, что AO1B= 90o , AO2B = 60o , O1O2=a . Найдите радиусы окружностей.

ВверхВниз   Решение


Через центр окружности, вписанной в трапецию, проведена прямая, параллельная основаниям.
Докажите, что отрезок этой прямой, заключённый между боковыми сторонами, равен четверти периметра трапеции.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]      



Задача 61326  (#09.076)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Итерации ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Найдите с точностью до 0,01 сотый член x100 последовательности {xn}, если
а) x1 $ \in$ [0; 1], xn + 1 = xn(1 - xn), (n > 1);
б) x1 $ \in$ [0, 1; 0, 9], xn + 1 = 2xn(1 - xn), (n > 1).

Прислать комментарий     Решение

Задача 61327  (#09.077)

Тема:   [ Производная и касательная ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Докажите, что касательная к графику функции f (x), построенная в точке с координатами (x0;f (x0)) пересекает ось Ox в точке с координатой

x0 - $\displaystyle {\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 61328  (#09.078)

Темы:   [ Итерации ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Метод Ньютона. Для приближенного нахождения корней уравнения f (x) = 0 Ньютон предложил искать последовательные приближения по формуле

xn + 1 = xn - $\displaystyle {\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}}$,

(начальное условие x0 следует выбирать поближе к искомому корню).
Докажите, что для функции f (x) = x2 - k и начального условия x0 > 0 итерационный процесс всегда будет сходиться к $ \sqrt{k}$, то есть $ \lim\limits_{n\to\infty}^{}$xn = $ \sqrt{k}$.
Как будет выражаться xn + 1 через xn? Сравните результат с формулой из задачи 9.48.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61329  (#09.079)

 [Метод Ньютона и числа Фибоначчи]
Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Итерации ]
[ Числа Фибоначчи ]
[ Цепные (непрерывные) дроби ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Применим метод Ньютона (см. задачу 61328) для приближённого нахождения корней многочлена   f(x) = x² – x – 1. Какие последовательности чисел получатся, если
  а)  x0 = 1;   б)  x0 = 0?
К каким числам будут сходиться эти последовательности?
Опишите разложения чисел xn в цепные дроби.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61330  (#09.080)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть p и q — отличные от нуля действительные числа и p2 - 4q > 0. Докажите, что следующие последовательности сходятся:
а) y0 = 0,        yn + 1 = $ {\dfrac{q}{p-y_n}}$    (n $ \geqslant$ 0);
б) z0 = 0,        zn + 1 = p - $ {\dfrac{q}{z_n}}$    (n $ \geqslant$ 0).
Установите связь между предельными значениями этих последовательностей y*, z* и корнями уравнения x2 - px + q = 0.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .