ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи По заданной последовательности положительных чисел q1,..., qn, ... строится последовательность многочленов следующим образом: Радиус окружности равен R. Найдите хорду, проведённую из конца данного диаметра через середину перпендикулярного к нему радиуса. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC, AHB, BHC и AHC, равны между собой. Григорианский календарь. Обыкновенный год содержит 365 дней, високосный – 366. n-й год, номер которого не делится на 100, является високосным тогда и только тогда, когда n кратно 4. n-й год, где n кратно 100, является високосным тогда и только тогда, когда n кратно 400. Так, например, 1996 и 2000 годы високосные, а 1997 и 1900 – нет. Эти правила были установлены папой Григорием XIII. До сих пор мы имели ввиду гражданский год, число дней которого должно быть целым. Астрономическим же годом называется период времени, за который Земля совершает полный оборот вокруг Солнца. Считая, что григорианский год полностью согласован с астрономическим, найдите продолжительность астрономического года.
Окружности с центрами O1 и O2 пересекаются
в точках A и B . Известно, что |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]
Докажите, что каждое целое число A представимо в виде
A = a0 + 2a1 + 22a2 +...+ 2nan,
где каждое из чисел ak = 0,
1 или -1 и
akak + 1 = 0 для всех
0
Множество Кантора. Отрезок числовой оси от 0 до 1 покрашен в зеленый
цвет. Затем его средняя часть — интервал (1/3;2/3)
перекрашивается в красный цвет, потом средняя часть каждого из
оставшихся зелеными отрезков тоже перекрашивается в красный цвет,
с оставшимися зелеными отрезками проделывается та же операция и
так до бесконечности. Точки, оставшиеся зелеными, образуют
множество Кантора.
Последовательность Морса. Бесконечная последовательность из нулей и единиц
0110 1001 1001 0110 1001...
построена по следующему правилу. Сначала написан нуль. Затем
делается бесконечное количество шагов. На каждом шаге к уже
написанному куску последовательности приписывается новый кусок
той же длины, получаемый из него заменой всех нулей единицами, а
единиц — нулями.
а) Какая цифра стоит на 2001 месте? б) Будет ли эта последовательность, начиная с некоторого места, периодической? в) Докажите, что данная последовательность переходит в себя при замене каждого нуля на комбинацию 01, а каждой единицы — на комбинацию 10. г) Докажите, что ни одно конечно слово из нулей и единиц не встречается в последовательности Морса три раза подряд. д) Как, зная представление числа n в двоичной системе счисления, найти n-й элемент данной последовательности?
Ханойская башня и двоичная
система счисления.
Рассмотрим два
процесса, каждый из которых состоит из 28 - 1 шагов. Первый —
это процесс решения головоломки ``Ханойская башня'' (смотри задачу
1.42) при
помощи оптимального алгоритма. Второй — это процесс прибавления
единицы, который начинается с 0 и заканчивается числом 28 - 1.
Опишите связь между этими двумя процессами.
Задача Иосифа Флавия.
n человек выстраиваются по кругу и
нумеруются числами от 1 до n. Затем из них исключается каждый
второй до тех пор, пока не останется только один человек.
Например, если n = 10, то порядок исключения таков: 2, 4,
6, 8, 10, 3, 7, 1, 9, так что остается номер 5.
Для данного n будем обозначать через J(n) номер последнего
оставшегося человека. Докажите, что
Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке