Фильтр
Выбрано 2 задачи Убрать все задачи
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что BA1/A1C = CB1/B1A = AC1/C1B. Докажите, что центры масс треугольников ABC и A1B1C1 совпадают.
РешениеЧерез точку A проведена прямая l, пересекающая окружность S с центром O в точках M и N и не проходящая через O. Пусть M' и N' — точки, симметричные M и N относительно OA, а A' — точка пересечения прямых MN' и M'N. Докажите, что A' совпадает с образом точки A при инверсии относительно S (и, следовательно, не зависит от выбора прямой l).
Решение
Задачи
Задача 109599 (#95.5.11.5) |
|
|
Докажите, что для любого натурального числа a1 > 1 существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел a1, a2, a3, ...,
что делится на a1 + a2 + ... + ak при всех k ≥ 1.
|
|
Решение |
Задача 109600 (#95.5.11.6) |
|
|
На карусели с n сиденьями мальчик катался n сеансов подряд. После каждого сеанса он вставал и, двигаясь по часовой стрелке, пересаживался на другое сиденье. Число сидений карусели, мимо которых мальчик проходит при пересаживании, включая и то, на которое он садится, назовём длиной перехода. При каких n за n сеансов мальчик мог побывать на каждом сиденье, если длины всех n – 1 переходов различны и меньше n?
|
|
|
Решение |
Задача 109601 (#95.5.11.7) |
|
|
Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении 2 : 1, считая от вершин, лежат на одной сфере.
|
|
|
Решение |
Задача 109607 (#95.5.11.8) |
|
|
Даны непостоянные многочлены P(x) и Q(x), у которых старшие коэффициенты равны 1.
Докажите, что сумма квадратов коэффициентов многочлена P(x)Q(x) не меньше суммы квадратов свободных членов P(x) и Q(x).
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]
