Версия для печати
Убрать все задачи

---

Доказать, что если 21 человек собрали 200 орехов, то есть два человека, собравшие поровну орехов.

   Решение

---

Докажите, что сумма расстояний от точки, взятой произвольно внутри правильного треугольника, до его сторон постоянна (и равна высоте треугольника).

   Решение

---

Найти наименьшее значение выражения  x + ¹/_4x  при положительных значениях x.

   Решение

---

В таблицу 9×9 вписаны все целые числа от 1 до 81. Доказать, что найдутся два соседних числа, разность между которыми не меньше 6.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110219  (#06.4.8.1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Простые числа и их свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Найдите какое-нибудь такое девятизначное число N, состоящее из различных цифр, что среди всех чисел, получающихся из N вычеркиванием семи цифр, было бы не более одного простого.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110220  (#06.4.8.2)

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Двое играют в такую игру. В начале по кругу стоят числа 1, 2, 3, 4. Каждым своим ходом первый прибавляет к двум соседним числам по 1, а второй меняет любые два соседних числа местами. Первый выигрывает, если все числа станут равными. Может ли второй ему помешать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110221  (#06.4.8.3)

Тема:   [ Задачи на движение ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

В круговых автогонках участвовали четыре гонщика. Их машины стартовали одновременно из одной точки и двигались с постоянными скоростями. Известно, что после начала гонок для каждых трёх машин нашёлся момент, когда они встретились. Докажите, что после начала гонок найдётся момент, когда встретятся все четыре машины. (Гонки считаем бесконечно долгими по времени.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110222  (#06.4.8.4)

Темы:   [ Остовы многогранных фигур ] [ Куб ] [ Подсчет двумя способами ] [ Степень вершины ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Каждая деталь конструктора "Юный паяльщик" – это скобка в виде буквы П, состоящая из трёх единичных отрезков. Можно ли из деталей этого конструктора спаять полный проволочный каркас куба 2×2×2, разбитого на кубики 1×1×1? (Каркас состоит из 27 точек, соединённых единичными отрезками; любые две соседние точки должны быть соединены ровно одним проволочным отрезком.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110223  (#06.4.8.5)

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

На доске записано произведение a₁a₂... a₁₀₀, где a₁, ..., a₁₀₀ – натуральные числа. Рассмотрим 99 выражений, каждое из которых получается заменой одного из знаков умножения на знак сложения. Известно, что значения ровно 32 из этих выражений чётные. Какое наибольшее количество чётных чисел среди a₁, a₂, ..., a₁₀₀ могло быть?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями