Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109963  (#98.4.8.6)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Четность и нечетность ] [ Полуинварианты ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

У нескольких крестьян есть 128 овец. Если у кого-то из них оказывается не менее половины всех овец, остальные сговариваются и раскулачивают его: каждый берёт себе столько овец, сколько у него уже есть. Если у двоих по 64 овцы, то раскулачивают кого-то одного из них. Произошло 7 раскулачиваний. Докажите, что все овцы собрались у одного крестьянина.

Решение

После первого раскулачивания у всех, кроме раскулаченного, число овец чётно, общее число овец тоже чётно, значит, и остаток у раскулаченного тоже чётен. Аналогично после второго раскулачивания у каждого число овец делится на 4, после седьмого – на  2⁷ = 128.  Это значит, что у одного из крестьян 128 овец, а у остальных – ничего.

Прислать комментарий

---

Задача 108108  (#98.4.8.7)

Темы:   [ Признаки и свойства касательной ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Концентрические окружности ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, S_A, S_B, S_C – окружности с центром O, касающиеся сторон BC, CA и AB соответственно. Докажите, что сумма трёх углов: между касательными к S_A, проведёнными из точки A, к S_B – из точки B, и к S_C – из точки C, равна 180°.

Решение

  Пусть окружность с центром O касается стороны AC в точке B₁, а касательных к этой окружности, проведённых из точки B, – в точках B₂ и B₃. Тогда прямоугольные треугольники BOB₂, BOB₃, AOB₁ и CO₁ равны по катету (радиус этой окружности) и гипотенузе (радиус описанной окружности треугольника ABC). Поэтому  ∠B₂BB₃ = ∠OAC + ∠OCA.
  Аналогично остальные два угла равны  ∠OAB + ∠OBA  и  ∠OBC + ∠OCB.  Следовательно, сумма трёх углов, о которых говорится в условии задачи, равна
(∠OAC + ∠OCA) + (∠OAB + ∠OBA) + (∠OBC + ∠OCB) = (∠OAC + ∠OAB) + (∠OCA + ∠OCB) + (∠OBC + ∠OBA) = ∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°.

Прислать комментарий

---

Задача 109965  (#98.4.8.8)

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Объединение, пересечение и разность множеств ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

На выборах в городскую Думу каждый избиратель, если он приходит на выборы, отдает голос за себя (если он является кандидатом) и за тех кандидатов, которые являются его друзьями. Прогноз социологической службы мэрии считается хорошим, если в нем правильно предсказано количество голосов, поданных хотя бы за одного из кандидатов, и нехорошим в противном случае. Докажите, что при любом прогнозе избиратели могут так явиться на выборы, что этот прогноз окажется нехорошим.

Решение

Прогноз, в котором нет нулей, окажется нехорошим, если все избиратели не явятся на выборы. Поэтому в каждом хорошем прогнозе должны быть нули. Пусть в прогнозе П у кандидата A и некоторых из его друзей A₁,..,A_k 0 голосов. Тогда при явке A на выборы прогноз по A,A₁,..,A_k уже ошибочен. Исключим A,A₁,..,A_k из списков кандидатов, и уменьшим на 1 прогноз по остальным друзьям A . Тогда мы вернемся к исходной задаче, но с меньшим числом кандидатов и меньшим на одного человека ( A ) числом избирателей. Продолжая эту процедуру, мы приходим к несовпадению по каждому кандидату числа поданных голосов с прогнозируемым. Значит, исходный прогноз – нехороший.

Прислать комментарий

---

Задача 109950  (#98.4.9.1)

Темы:   [ Формула Герона ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Длины сторон некоторого треугольника и диаметр вписанной в него окружности являются четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите все такие треугольники.

Решение

Все треугольники, длины сторон которых пропорциональны 3, 4 и 5 (Египетский треугольник). В любом треугольнике 2r<h_b a , т.е. диаметр вписанной в треугольник окружности меньше всех его сторон. Пусть 2r , a , b и c образуют возрастающую арифметическую прогрессию с разностью d>0 . Ясно, что a=2r+d , b=2r+2d , c=2r+3d и p==3r+3d . Поскольку в любом треугольнике S=pr и S= , то pr= или pr²=(p-a)(p-b)(p-c) . Выразив в данном равенстве все величины через r и d получим

(3r+3d)r²=(r+2d)(r+d)r,
откуда 3r=r+2d , т.е. r=d , так как r>0 , r+d>0 . Следовательно, стороны равны 3r , 4r , 5r .

Ответ

Все треугольники, длины сторон которых пропорциональны 3, 4 и 5 (Египетский треугольник).

Прислать комментарий

---

Задача 108109  (#98.4.9.2)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая пересекает эти окружности последовательно в точках A, B, C и D, как показано на рисунке.

Докажите, что  ∠APB = ∠CQD.

Подсказка

Проведите общую хорду данных окружностей и воспользуйтесь теоремой о вписанных углах.

Решение

  По теореме о вписанных углах  ∠PAC = ∠PQC,  ∠PBD = ∠PQD.
  Поскольку PBD – внешний угол треугольника ABP, то  ∠PBD = ∠PAB + ∠APB.
  Следовательно,  ∠APB = ∠PBD – ∠PAB = ∠PBD – PAC = ∠ PQD – ∠PQC = ∠CQD.

Прислать комментарий

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями