Версия для печати
Убрать все задачи

---

Точки A, B, C и D лежат на окружности с центром O. Прямые AB и CD пересекаются в точке E, а описанные окружности треугольников AEC и BED пересекаются в точках E и P. Докажите, что:
а) точки A, D, P и O лежат на одной окружности;
б)  EPO = 90^o.

   Решение

---

Предположим, что число α задано бесконечной цепной дробью  α = [a₀; a₁, ..., a_n, ...].  Докажите, что     где Q_k – знаменатели подходящих дробей.

   Решение

---

Известно, что  f(x), g(x) и h(x) – квадратные трёхчлены. Может ли уравнение  f(g(h(x)))  = 0 иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?

   Решение

---

Точки K, L, M и N лежат на сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD, причем отрезки KM и LN параллельны сторонам параллелограмма. Эти отрезки пересекаются в точке O. Докажите, что площади параллелограммов KBLO и MDNO равны тогда и только тогда, когда точка O лежит на диагонали AC.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110076  (#01.4.9.8)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Перебор случаев ] [ Последовательности (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Саша написал на доске ненулевую цифру и приписывает к ней справа по одной ненулевой цифре, пока не выпишет миллион цифр. Докажите, что на доске не более 100 раз был написан точный квадрат.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110062  (#01.4.10.1)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Произвольные многоугольники ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Длины сторон многоугольника равны  a₁, a₂, ..., a_n.  Квадратный трёхчлен  f(x) таков, что  f(a₁) = f(a₂ + ... + a_n).
Докажите, что если A – сумма длин нескольких сторон многоугольника, B – сумма длин остальных его сторон, то  f(A) = f(B).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108221  (#01.4.10.2)

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Гомотетичные окружности ] [ Касающиеся окружности ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка K . Окружность s1 проходит через точку K и касается прямых AB и AD , причём вторая точка пересечения s1 с диагональю AC лежит на отрезке AK . Окружность s2 проходит через точку K и касается прямых CB и CD , причём вторая точка пересечения s2 с диагональю AC лежит на отрезке KC . Докажите, что при всех положениях точки K на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей s1 и s2 , будут параллельны между собой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110064  (#01.4.10.3)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Раскраски ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

Опишите все способы покрасить каждое натуральное число в один из трёх цветов так, чтобы выполнялось условие: если числа a, b и c (не обязательно различные) удовлетворяют условию  2000(a + b) = c,  то они либо все одного цвета, либо трёх разных цветов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110065  (#01.4.10.4)

Темы:   [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

Проведено три семейства параллельных прямых, по 10 прямых в каждом. Какое наибольшее число треугольников они могут вырезать из плоскости?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями