Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 56]

Задача 109833 (#05.5.9.4)

Темы:	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Гарбер М.

На столе лежат 365 карточек, на обратной стороне которых написаны различные числа. За один рубль Вася может выбрать три карточки и попросить Петю положить их слева направо так, чтобы числа на карточках располагались в порядке возрастания. Может ли Вася, потратив 2000 рублей, с гарантией выложить все 365 карточек на стол слева направо так, чтобы числа на них располагались в порядке возрастания?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109834 (#05.5.9.5)

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Подлипский О.К.

Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для каждых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение – рациональное число.
Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109835 (#05.5.9.6)

Темы:	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Двоичная система счисления	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Авторы: Агаханов Н.Х., Богданов И.И.

Сколькими способами числа 2⁰, 2¹, 2², ..., 2²⁰⁰⁵ можно разбить на два непустых множества A и B так, чтобы уравнение x² – S(A)x + S(B) = 0, где S(M) – сумма чисел множества M, имело целый корень?

Прислать комментарий

Решение

Задача 108225 (#05.5.9.7)

Темы:	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Автор: Акопян А.В.

В остроугольном треугольнике проведены высоты AA' и BB'. На дуге ACB описанной окружности треугольника ABC выбрана точка D. Пусть прямые AA' и BD пересекаются в точке P, а прямые BB' и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая A'B' проходит через середину отрезка PQ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109837 (#05.5.9.8)

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

За круглым столом сидят 100 представителей 50 стран, по двое от каждой страны. Докажите, что их можно разбить на две группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и каждый человек находился в одной группе не более чем с одним своим соседом.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 56]