ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 56]      



Задача 110174  (#05.4.11.2)

Тема:   [ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Известно, что существует число S , такое, что если a+b+c+d=S и +++=S ( a , b , c , d отличны от нуля и единицы), то + + += S . Найти S .
Прислать комментарий     Решение


Задача 110181  (#05.4.11.3)

Темы:   [ Раскраски ]
[ Задачи с ограничениями ]
[ Ориентированные графы ]
[ Перестановки и подстановки (прочее) ]
[ Отношение порядка ]
Сложность: 5-

Даны  N ≥ 3  точек, занумерованных числами 1, 2, ..., N. Каждые две точки соединены стрелкой от меньшего номера к большему. Раскраску всех стрелок в красный и синий цвета назовем однотонной, если нет двух таких точек A и B, что от A до B можно добраться и по красным стрелкам, и по синим. Найдите количество однотонных раскрасок.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110199  (#05.4.11.4)

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Радикальная ось ]
[ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

AA1 и BB1 – высоты остроугольного неравнобедренного треугольника ABC. Известно, что отрезок A1B1 пересекает среднюю линию, параллельную AB, в точке C'. Докажите, что отрезок CC' перпендикулярен прямой, проходящей через точку пересечения высот и центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110175  (#05.4.11.5)

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого многочлена P с целыми коэффициентами и любого натурального k существует такое натуральное n, что  P(1) + P(2) + ... + P(n)  делится на k.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110176  (#05.4.11.6)

Темы:   [ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Площадь четырехугольника ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
[ Тригонометрические неравенства ]
[ Общие четырехугольники ]
[ Неравенства с площадями ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Каждую вершину выпуклого четырехугольника площади S отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину. Обозначим площадь получившегося четырехугольника через S' . Докажите, что <3 .
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 56]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .