Параграфы:
-
Вводные задачи
(5 задач)
параграф 1. Медиана делит площадь пополам
(7 задач)
параграф 2. Вычисление площадей
(6 задач)
параграф 3. Площади треугольников, на которые разбит четырехугольник
(4 задачи)
параграф 4. Площади частей, на которые разбит четырехугольник
(8 задач)
параграф 5. Разные задачи
(10 задач)
параграф 6. Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части
(7 задач)
параграф 7. Формулы для площади четырехугольника
(4 задачи)
параграф 8. Вспомогательная площадь
(14 задач)
параграф 9. Перегруппировка площадей
(4 задачи)
Фильтр
Задачи
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 69]
Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника
равна $\frac12 d_1 d_2\sin\varphi$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\varphi$ — угол между ними.
Пусть E и F — середины сторон BC и AD
параллелограмма ABCD. Найдите площадь четырехугольника, образованного
прямыми AE, ED, BF и FC, если известно, что площадь ABCD равна S.
Многоугольник описан около окружности радиуса r.
Докажите, что его площадь равна pr, где p — полупериметр
многоугольника.
Точка $X$ расположена внутри параллелограмма $ABCD$.
Докажите, что $S_{ABX}+S_{CDX}=S_{BCX}+S_{ADX}$.
Пусть
A1, B1, C1 и D1 — середины
сторон
CD, DA, AB, BC квадрата ABCD, площадь которого равна S.
Найдите площадь четырехугольника, образованного
прямыми
AA1, BB1, CC1 и DD1.
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 69]
Задача 56746 (#04.000.1) |
|
|
Решение
Пусть диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $\angle AOB = \varphi.$ Тогда $$S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{AOD} = $$ $$= \frac12 AO \cdot OB \sin \varphi + \frac12 BO \cdot OC \sin (180^\circ -\varphi) + \frac12 CO \cdot OD \sin \varphi + \frac12 DO \cdot OA \sin (180^\circ -\varphi) = $$ $$= \frac12 \sin \varphi \cdot (AO \cdot OB + BO \cdot OC + CO \cdot OD + DO \cdot OA) = $$ $$= \frac12 \sin \varphi \cdot \big( (AO+CO) \cdot OB + (CO+AO) \cdot OD\big) = \frac12 \sin \varphi \cdot (AO+CO) \cdot (OB+OD) = \frac12 AC \cdot BD \cdot \sin \varphi.$$
|
|
Задача 56747 (#04.000.2) |
|
|
Ответ
S/4.|
|
|
Задача 56748 (#04.000.3) |
|
|
Решение
Соединим центр окружности со всеми вершинами многоугольника, а также проведём все радиусы к точкам касания. Тогда в полученных треугольниках радиусы – высоты, и площадь каждого из них равна половине произведения радиуса и стороны, к которой он проведён. Площадь многоугольника равна сумме площадей всех полученных треугольников, то есть, равна произведению половины радиуса и суммы всех сторон многоугольника, то есть, равна произведению полупериметра многоугольника и радиуса его вписанной окружности.|
|
|
Задача 56749 (#04.000.4) |
|
|
Решение
Сумма площадей треугольников $ABX$ и $CDX$ равна половине произведения стороны $AB$ на сумму расстояний от точки $X$ до параллельных прямых $AB$ и $CD$, то есть равна половине произведения стороны $AB$ на высоту параллелограмма, перпендикулярную $AB$. То есть сумма площадей треугольников $ABX$ и $CDX$ равна половине площади параллелограмма $ABCD$; значит, сумма оставшихся треугольников также равна половине площади параллелограмма.|
|
|
Задача 56750 (#04.000.5) |
|
|
|
|
|
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 69]
