Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 30. Проективные преобразования
Параграфы:
-
параграф 1. Проективные преобразования прямой
(10 задач)
параграф 2. Проективные преобразования плоскости
(13 задач)
параграф 3. Переведем данную прямую на бесконечность
(12 задач)
параграф 4. Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность
(10 задач)
параграф 5. Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство
(5 задач)
параграф 6. Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение
(7 задач)
параграф 7. Невозможность построений при помощи одной линейки
(2 задачи)
Фильтр
Задачи
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 59]
Докажите, что прямые, соединяющие противоположные точки касания
описанного четырехугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.
Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками
касания противоположных сторон с вписанной окружностью,
пересекаются в одной точке.
а) Через точку P проводятся всевозможные секущие
окружности S. Найдите геометрическое место точек пересечения
касательных к окружности S, проведенных в двух точках
пересечения окружности с секущей.
б) Через точку P проводятся всевозможные пары секущих AB и CD окружности S (A, B, C, D — точки пересечения с окружностью). Найдите геометрическое место точек пересечения прямых AC и BD.
1. Точка P лежит вне S. Сделаем проективное преобразование, при котором окружность S перейдет в окружность, а точка P — в бесконечно удаленную точку (см. задачу 30.17), т. е. образы всех прямых, проходящих через P, будут друг другу параллельны. Тогда в задаче б) образом искомого ГМТ является прямая l — их общий перпендикуляр, проходящий через центр окружности, а в задаче а) — прямая l, из которой выкинут диаметр окружности. (Для доказательства нужно воспользоваться симметрией относительно прямой l.) Следовательно, само искомое ГМТ для задачи б) есть прямая, проходящая через точки касания S с касательными, проведенными через точку P, а для задачи б) — лежащая вне S часть этой прямой.
2. Точка P лежит внутри S. Сделаем проективное преобразование, при котором окружность S перейдет в окружность, а точка P — в ее центр (см. задачу 30.16, а)). Тогда в обеих задачах образом искомого ГМТ является бесконечно удаленная прямая. Следовательно, само искомое ГМТ есть прямая.
Полученная прямая в обоих случаях совпадает с полярой точки P относительно S (см. задачу 30.19).
Даны окружность S, прямая l, точка M, лежащая
на S и не лежащая на l, и точка O, не лежащая на S.
Рассмотрим преобразование P прямой l, являющееся композицией
проектирования l на S из M, S на себя из O и S на l
из M, т. е. P(A) — пересечение прямых l и MC,
где C — отличная от B точка пересечения S с прямой OB,
а B — отличная от A точка пересечения S с прямой MA.
Докажите, что преобразование P проективно.
Даны окружность S, точка P, расположенная вне S,
и прямая l, проходящая через P и пересекающая окружность
в точках A и B. Точку пересечения касательных к окружности
в точках A и B обозначим через K.
а) Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через P и пересекающие AK и BK в точках M и N. Докажите, что геометрическим местом точек пересечения отличных от AK и BK касательных к S, проведенных из точек M и N, является некоторая прямая, проходящая через K, из которой выкинуто ее пересечение с внутренностью S.
б) Будем на окружности разными способами выбирать точку R и проводить прямую, соединяющую отличные от R точки пересечения прямых RK и RP с S. Докажите, что все полученные прямые проходят через одну точку, и эта точка лежит на l.
а) Требуемое ГМТ лежит на прямой, равноудаленной от образов прямых AK и BK.
б) Требуемая точка есть центр образа S.
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 59]
Задача 58444 (#30.036) |
|
|
Решение
Сделаем проективное преобразование, которое вписанную окружность четырехугольника переводит в окружность, а точку пересечения прямых, соединяющих противоположные точки касания, в ее центр (см. задачу 30.16, а)). Утверждение задачи теперь следует из того, что получившийся четырехугольник симметричен относительно центра окружности.
|
|
Задача 58445 (#30.037) |
|
|
Решение
Сделаем проективное преобразование, которое вписанную окружность переводит в окружность, а точку пересечения двух из трех рассматриваемых прямых — в ее центр (см. задачу 30.16, а)). Тогда образы этих двух прямых являются одновременно биссектрисами и высотами образа данного треугольника, следовательно, он является правильным. Для правильного треугольника утверждение задачи очевидно.|
|
|
Задача 58446 (#30.038) |
|
|
б) Через точку P проводятся всевозможные пары секущих AB и CD окружности S (A, B, C, D — точки пересечения с окружностью). Найдите геометрическое место точек пересечения прямых AC и BD.
Решение
Рассмотрим отдельно два случая.1. Точка P лежит вне S. Сделаем проективное преобразование, при котором окружность S перейдет в окружность, а точка P — в бесконечно удаленную точку (см. задачу 30.17), т. е. образы всех прямых, проходящих через P, будут друг другу параллельны. Тогда в задаче б) образом искомого ГМТ является прямая l — их общий перпендикуляр, проходящий через центр окружности, а в задаче а) — прямая l, из которой выкинут диаметр окружности. (Для доказательства нужно воспользоваться симметрией относительно прямой l.) Следовательно, само искомое ГМТ для задачи б) есть прямая, проходящая через точки касания S с касательными, проведенными через точку P, а для задачи б) — лежащая вне S часть этой прямой.
2. Точка P лежит внутри S. Сделаем проективное преобразование, при котором окружность S перейдет в окружность, а точка P — в ее центр (см. задачу 30.16, а)). Тогда в обеих задачах образом искомого ГМТ является бесконечно удаленная прямая. Следовательно, само искомое ГМТ есть прямая.
Полученная прямая в обоих случаях совпадает с полярой точки P относительно S (см. задачу 30.19).
|
|
|
Задача 58447 (#30.039) |
|
|
Решение
Обозначим через m прямую, являющуюся искомым геометрическим местом точек в задаче 30.38, б), а через N -- отличную от M точку пересечения S с прямой OM. Обозначим через Q композицию проецирований l на S из M и S на m из N. Согласно задаче 30.9 это отображение является проективным. Докажем, что P есть композиция Q с проецированием m на l из M. Пусть A — произвольная точка на l, B — ее проекция на S из M, C — проекция B на S из O, D — пересечение прямых BN и CM. Согласно задаче 30.38, б) точка D лежит на прямой m, т. е. D = Q(A). Ясно, что P(A) — это проекция D на l из M.|
|
|
Задача 58448 (#30.040) |
|
|
а) Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через P и пересекающие AK и BK в точках M и N. Докажите, что геометрическим местом точек пересечения отличных от AK и BK касательных к S, проведенных из точек M и N, является некоторая прямая, проходящая через K, из которой выкинуто ее пересечение с внутренностью S.
б) Будем на окружности разными способами выбирать точку R и проводить прямую, соединяющую отличные от R точки пересечения прямых RK и RP с S. Докажите, что все полученные прямые проходят через одну точку, и эта точка лежит на l.
Решение
Обе задачи становятся очевидными после проективного преобразования, переводящего окружность S в окружность, а прямую KP — в бесконечно удаленную (см. задачу 30.17).а) Требуемое ГМТ лежит на прямой, равноудаленной от образов прямых AK и BK.
б) Требуемая точка есть центр образа S.
|
|
|
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 59]
