Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый).
  а) Всегда ли найдётся хорда многоугольника, которая делит его на две равновеликие части?
  б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на части, площадь каждой из которых не меньше чем ⅓ площади многоугольника. (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур.)

   Решение

Правильный (2n+1)-угольник разбили диагоналями на  2n – 1  треугольник. Докажите, что среди них по крайней мере три равнобедренных.

   Решение

Дана окружность с центром O и радиусом 1. Из точки A к ней проведены касательные AB и AC. Точка M, лежащая на окружности, такова, что четырёхугольники OBMC и ABMC имеют равные площади. Найдите MA.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      

Правильный треугольник разбит на n² одинаковых правильных треугольников (рис.). Часть из них занумерована числами 1, 2,..., m, причем треугольники с последовательными номерами имеют смежные стороны. Докажите, что mn² - n + 1.

Прислать комментарий

Решение

Дно прямоугольной коробки выложено плитками размером 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и потеряли одну плитку 2×2. Вместо нее достали плитку 1×4. Докажите, что выложить дно коробки плитками теперь не удастся.

Прислать комментарий

Решение

Из листа клетчатой бумаги размером 29×29 клеток вырезано 99 квадратиков размером 2×2 клетки. Докажите, что из него можно вырезать еще один такой квадратик.

Прислать комментарий

Решение

Выпуклый n-угольник разбит на треугольники непересекающимися диагоналями, причем в каждой его вершине сходится нечетное число треугольников. Докажите, что n делится на 3.

Прислать комментарий

Решение

Можно ли шашечную доску размером 10×10 замостить плитками размером 1×4?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]