Версия для печати
Убрать все задачи

---

На высотах BB₁ и CC₁ треугольника ABC взяты точки B₂ и C₂ так, что   ∠AB₂C = ∠AC₂B = 90°.  Докажите, что  AB₂ = AC₂.

   Решение

---

Кресла для зрителей вдоль лыжной трассы занумерованы по порядку: 1, 2, 3, ..., 1000. Кассирша продала n билетов на все первые 100 мест, но n больше 100, так как на некоторые места она продала больше одного билета (при этом  n < 1000).  Зрители входят на трассу по одному.Каждый, подойдя к своему месту, занимает его, если оно свободно, если же занято, говорит "Ох!", идёт в сторону роста номеров до первого свободного места и занимает его. Каждый раз, обнаружив очередное место занятым, он говорит "Ох!". Докажите, что число "охов" не зависит от того, в каком порядке зрители выходят на трассу.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 59]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60314  (#01.041)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Из квадрата клетчатой бумаги размером 16×16 вырезали одну клетку. Докажите, что полученную фигуру можно разрезать на "уголки'' из трех клеток.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60315  (#1.42, 1.43, 1.44)  [Ханойская башня I]

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Рекуррентные соотношения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

  а) Головоломка "Ханойская башня" представляет собой восемь дисков, нанизанных в порядке уменьшения размеров на один из трёх колышков. Требуется переместить всю башню на другой колышек, перенося каждый раз только один диск и не помещая больший диск на меньший. Докажите, что головоломка имеет решение. Какой способ будет оптимальным (по числу перекладываний дисков)?

  б) Занумеруем колышки числами 1, 2, 3. Требуется переместить диски с 1-го колышка на 3-й. Сколько понадобится перекладываний, если прямое перемещение диска с 1-го колышка на 3-й и с 3-го на 1-й запрещено (каждое перекладывание должно производиться через 2-й колышек)?

  в) Сколько понадобится перекладываний, если в условии пункта а) добавить дополнительное требование: первый (самый маленький) диск нельзя класть на 2-й колышек?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60318  (#01.045)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Докажите, что квадрат можно разрезать на n квадратов для любого n, начиная с шести.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60319  (#01.046)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Докажите, что правильный треугольник можно разрезать на n правильных треугольников для любого n, начиная с шести.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60320  (#01.047)  [Золотая цепочка]

Темы:   [ Геометрическая прогрессия ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

   а) На постоялом дворе остановился путешественник, и хозяин согласился в качестве уплаты за проживание брать кольца золотой цепочки, которую тот носил на руке. Но при этом он поставил условие, чтобы оплата была ежедневной: каждый день хозяин должен был иметь на одно кольцо больше, чем в предыдущий. Замкнутая в кольцо цепочка содержала 11 колец, а путешественник собирался прожить ровно 11 дней, поэтому он согласился. Какое наименьшее число колец он должен распилить, чтобы иметь возможность платить хозяину?

   б) Из скольких колец должна состоять цепочка, чтобы путешественник мог прожить на постоялом дворе наибольшее число дней при условии, что он может распилить только n колец?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 59]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями